LeetCode的第587题安装栅栏刚开始做的时候不知道该从哪里下手，思考一段时间无果后就去评论区找思路，在评论得知这是一道经典的凸包算法题，于是去学习了一下凸包算法。

什么是凸包算法

首先来了解一下凸包

Jarvis凸包算法

向量叉积

叉积的几何意义

附：算法题及解法

题目

题解代码

什么是凸包算法

首先来了解一下凸包

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。

在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的凸组合来构造.

在二维中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。

用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含点集中所有的点。

常见的凸包算法有很多种，暂时只学习了Jarvis算法

Jarvis凸包算法

Jarvis 算法背后的想法非常简单。首先必须要从凸包上的某一点开始，比如从给定点集中最左边的点开始，例如最左的一点A1 。然后选择 A2点使得所有点都在向量 A1A2的左方或者右方，我们每次选择左方，需要比较所有点以 A1为原点的极坐标角度。然后以A2为原点，重复这个步骤，依次找到A3,A4,…,Ak。给定原点 p，如何找到点 q，满足其余的点 r 均在向量 pq的左边，我们使用「向量叉积」来进行判别。我们可以知道两个向量 pq, qr的叉积大于 0 时，则两个向量之间的夹角小于 180°，两个向量之间构成的旋转方向为逆时针，此时可以知道 r一定在 pq的左边；叉积等于 0时，则表示两个向量之间平行，p,q,r 在同一条直线上；叉积小于 0 时，则表示两个向量之间的夹角大于 180°，两个向量之间构成的旋转方向为顺时针，此时可以知道 r 一定在pq的右边。为了找到点 q，我们使用函数 cross() ，这个函数有 3 个参数，分别是当前凸包上的点 p，下一个会加到凸包里的点 q，其他点空间内的任何一个点 r，通过计算向量pq, qr的叉积来判断旋转方向，如果剩余所有的点 r均满足在向量 pq的左边，则此时我们将q加入凸包中。
下图说明了这样的关系，点 r 在向量pq 的左边。

cross(p,q,r)= $\underset{pq}{\rightarrow}\times \underset{qr}{\rightarrow}$ = $\begin{vmatrix} q_{x}-p_{x} &q_{y}-p_{y} \\ r_{x}-q_{x}&r_{y}-q_{y} \end{vmatrix}$ = $(q_{x}-p_{x})*(r_{y}-q_{y})-(q_{y}-p_{y})*(r_{x}-q_{x}))$

向量叉积

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

在二维空间中，向量A=<a1,a2>,B=<b1,b2>

$A\times B=\begin{vmatrix} a1 &a2 \\ b1&b2 \end{vmatrix}=a1b2-a2b1$

叉积的几何意义

附：算法题及解法

题目

在一个二维的花园中，有一些用 (x, y) 坐标表示的树。由于安装费用十分昂贵，你的任务是先用最短的绳子围起所有的树。只有当所有的树都被绳子包围时，花园才能围好栅栏。你需要找到正好位于栅栏边界上的树的坐标。

题解代码

int cross(const int* p, const int* q, const int* r) {return (q[0] - p[0]) * (r[1] - q[1]) - (q[1] - p[1]) * (r[0] - q[0]);
}
int** outerTrees(int** trees, int treesSize, int* treesColSize, int* returnSize, int** returnColumnSize) {if (treesSize < 4) {*returnSize = treesSize;*returnColumnSize = (int*)malloc(sizeof(int)*treesSize);for (int i = 0;i < treesSize;i++) {(*returnColumnSize)[i] = 2;}return trees;}int** res = (int**)malloc(sizeof(int*) * treesSize);int pos = 0;int leftMax = 0;for (int i = 0;i < treesSize;i++) {if (trees[i][0] < trees[leftMax][0]) {leftMax = i;}}bool* visited = (bool*)malloc(sizeof(bool) * treesSize);memset(visited, 0, sizeof(bool)*treesSize);int p = leftMax;do {int q = (p + 1) % treesSize;for (int r = 0;r < treesSize;r++) {if (cross(trees[p], trees[q], trees[r])<0) {q = r;}}for (int i = 0;i < treesSize;i++) {if (visited[i] || p == i || q == i) {continue;}if (cross(trees[p], trees[q], trees[i])==0) {res[pos] = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);res[pos][0] = trees[i][0];res[pos][1] = trees[i][1];pos++;visited[i] = true;}}if (!visited[q]) {visited[q] = true;res[pos] = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);res[pos][0] = trees[q][0];res[pos][1] = trees[q][1];pos++;}p = q;} while (p!=leftMax);*returnSize = pos;*returnColumnSize = (int*)malloc(sizeof(int) * pos);for (int i = 0;i < pos;i++) {(*returnColumnSize)[i] = 2;}free(visited);return res;
}

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关于凸包算法和叉积的应用

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