文章目录

前期教程
概述
1 函数极限
2 导数与偏导
3 函数极值&最值
4 求方程（组）的根
5 求函数零点
6 泰勒公式
7 数列求和
8 函数积分
- 8.1 一般函数积分
- 8.2 数值积分
9 表达式化简
10 插值
- 10.1 一维插值
- 10.2 二维插值
- 10.3 总结
11 常微分方程
- 11.1 解析解
- 11.2 数值解
后续教程

前期教程

【MATLAB】（一）基本使用入门
【MATLAB】（二）基本使用拾遗

概述

本篇博客主要记录MATLAB在高数中的应用。建议没有基础的先看看前期教程。

1 函数极限

在MATLAB中，求函数极限的命令是limit，其中的参数比较简单，参见下表。

需要注意：并不是所有的极限都可以使用limit指令来求出，部分极限求不出来，会得到NaN的输出。

2 导数与偏导

有时候需要无法直接使用y对x求导时，可以先求出x对t的导数和y对t的导数，然后再求y对x的导数。
同理，求隐函数或者偏导时，也可以使用类似的间接方法。

3 函数极值&最值

fminband
fminsearch

注意：这里求出的是局部范围内的最值，相当于求极值的函数，如果需要求最值需要再根据实际情况判断一下。

求离散数据（如一个向量或者矩阵）中的最值使用min和max函数：

此外，还有两个专门求多元函数极值的函数：

fminunc
这个函数主要用于 无约束多元函数求极值 问题。其中“unc”应该是“unconstrained”的缩写。其一般的使用结构如下所示：

[x, fval] = fminunc(fun, x0)

其中，fun为代求极值的函数；x0为起始点，即从这个点开始寻找极值，由于该函数用于多元函数极值问题，所以x0为一个向量；输出x表示取到极值的位置，和x0维度相同，也是一个向量；输出fval为求得的极值，即fun(x)。

fmincon
这个函数主要用于有约束多元函数求极值 问题。其中“con”应该是“constrained”的缩写。其一般使用的结构为：

[x, fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

其中，x, fval, fun, x0和上面介绍的一样，另外几个参数：A和b表示线性不等式约束，即Ax<b；Aeq和beq表示线性等式约束，即Aeq·x = beq；lb和ub表示函数自变量的边界，即lower bound，upper bound；nonlcon表示 非线性约束 ，一般是以一个函数句柄**的形式调用，用c(x)<0和ceq(x)=0表示。
综上，这个函数可以表示为以下函数问题的解：

这两个函数的具体用法建议在MATLAB中利用help指令查看

4 求方程（组）的根

求代数方程f(x) = 0的根，可以使用MATLAB中的命令solve(f, x)，输出结果即为f(x) = 0的所有符号解或精确解。
如果需要求方程组的解，如{f(x,y)=0g(x,y)=0\left\{ \begin{array}{c} f\left( x, y \right) \,\,=\,\,0\\ g\left( x, y \right) \,\,=\,\,0\\ \end{array} \right. {f(x,y)=0g(x,y)=0可以使用指令[x, y] = solve(f, g, x, y)求出。

同样需要注意：这个solve指令可能求出的并不是唯一解，也有可能不是精确解，需要自己根据实际情况判断选择。

5 求函数零点

MATLAB中求函数零点的方法都是使用牛顿迭代法求出的近似解。

需要注意：如果使用的命令不同，或者选择的初始点不同，那求出的结果也会有差异。

6 泰勒公式

MATLAB中有可以直接算泰勒展开的指令，使用非常方便：

可以看出，这个指令的参数结构是 “Name, Value” 格式的，即两个参数为一对，先是参数的类型名，然后是参数对应的值。

7 数列求和

在已知一个具体数字组成的向量或矩阵时，可以直接使用sum(x)的指令来进行求和。
但是需要注意：如果x为一个向量，那么所求出的结果为向量所有元素之和；如果x为一个矩阵，那么求出的结果为一个向量，且向量元素的数量为矩阵x的列数，即每个元素为矩阵x一列元素之和。

对于含有参数的数列，MATLAB中也有对应的求和指令symsum

8 函数积分

8.1 一般函数积分

如果是多重积分，可以连续使用多个int指令。如下所示

8.2 数值积分

在学习数值积分的MATLAB指令前，需要先了解什么是数值积分？
所谓数值积分，是针对那些求积分求不出解析解的数学表达式，利用图形化的方法来求其积分的数值解，即曲线与x轴围成的面积大小，即下面积大小。记住，这是核心思想！
然后针对如何求曲线下面积的方法，提出了不同的方法。比较常用的有三种：梯形积分法、辛普森法（Simpson）、自适应辛普森法（Adaptive Simpson），下面分别介绍。

梯形积分法
顾名思义，就是将整个下面积分解为一个个等高的梯形，然后求出梯形面积之和，即求出了曲线的积分。

使用梯形积分法的思想可以有两种方法，一种是按照这个思路实际编程操作，如下详述：

除了这种需要亲力亲为的操作，MATLAB还提供了一个指令来实现，使得数值积分更加简单。

其中，参数中的x为积分区间内的各个等距点向量，y为该x向量中各点作为自变量在积分函数上对应的函数值，因此y也是一个向量。
辛普森法（Simpson）
从上面的描述可以看出，梯形法是将积分区间分解为一个个等距的小梯形，然后将所有梯形的面积求和，即得到该函数在设定区间上的积分，这种积分方法存在一个问题，那就是当曲线波动较大时，梯形的斜边拟合曲线误差较大，因此人们又提出了将斜边换为曲线的方法，而抛物线作为最简单的曲线成为首选。即将积分单元从梯形改为曲边梯形，且曲边为抛物线，此即辛普森法（Simpson）。
自适应辛普森法（Adaptive Simpson）
使用辛普森法相比于梯形积分法确实误差减小了很多，但是计算量也增加了不少。其中最为主要的影响因素就是采样点的多少，即各个子区间的大小。当子区间越小，积分计算结果的精度越高，但计算量也越大。据此人们又提出了自适应辛普森法（Adaptive Simpson）。即当曲线变化不均匀时，选择在波动剧烈的曲线段增加采样点，减小采样间距；在波动较为平缓的曲线段减少采样点，增大采样间距。这样可以在保证精度的同时尽量减少计算量。因此该方法应用最为广泛。

对于重积分，自适应辛普森方法也有对应的指令：

9 表达式化简

在计算积分的解析解时，我们常常会得到一个非常复杂的表达式，可读性较差，因此化简表达式就显得很有必要。下面总结一些常用是化简表达式的指令【MATLAB 2019版本适用】

pretty(f) —— 将符号表达式化简成与高等数学课本上显示符号表达式形式类似（大大提升表达式可读性！）
collect(f) —— 合并符号表达式的同类项
horner(f) —— 将一般的符号表达式转换成嵌套形式的符号表达式
factor(f) —— 对符号表达式进行因式分解
expand(f) —— 对符号表达式进行展开
simplify(f) —— 对符号表达式进行化简，它利用各种类型的代数恒等式，包括求和、积分、三角函数、指数函数以及 Bessel 函数等来化简符号表达式。【这个指令应该是simple的更新版，目前simple指令不能用了】

10 插值

很多工程实践中，往往需要通过若干个节点的数据，来获得其他节点的数据，这时就需要用到插值的方法。
常用的插值分为一维和二维两种情况。其中，一维插值又有很多种方法。下面分别介绍。

10.1 一维插值

拉格朗日插值
分段线性插值
但是，在实际应用中，已知节点的个数可能很大，不过拟合的多项式最高次数并不是越大越好，所以有一种方法是直接将相邻的两个节点用直线连接，两点之间的函数值用直线的方程来表示。如下图实线所示。

在MATLAB中，分段线性插值的指令为

y = interp1(x0, y0, x);

其中，x0为已知节点自变量，y0为已知节点因变量，x为待计算的插值点数组（一般x的范围更广），返回值y为x向量各元素对应的因变量组成的向量。

显然，直接用直线连接相邻节点拟合出的曲线误差太大，尤其是节点数较少时更加明显。为了使得曲线更加平滑，可以使用三次曲线代替直线连接相邻的两个节点。此即分段三次插值，但是仍然可以使用这个指令，只需要调整参数即可。
插值指令完整版为

y = interp1(x0, y0, x, 'method');

method参数可以取如下值：

由图可知，当method取cubic或pchip时为分段三次插值，所得曲线相比于线性插值更加光滑，该指令与下列指令等效：

p = pchip(x,y,xq); %xq相当于上面的x，为待插值范围

取spline时为三次样条插值。

三次样条插值
通过上面的表述，可以发现，三次样条插值与分段三次插值十分类似，都是使用三次曲线去连接两个相邻的节点，但是从上面那个表格可知，三次样条插值得到的曲线在所有节点处都是二阶可导，因此计算时间最长。
三次样条插值除上文中所述指令外，还有其他指令可以实现相同效果：

s = spline(x, y, xq); %参数与上文中相同

pp=csape(x0,y0);
y=ppval(pp,x); %x0，y0，y代表的含义与上文相同

10.2 二维插值

10.3 总结

11 常微分方程

常微分方程的解一般可以分为两类，一种是能够求出解析解的表达式，一种是只能求出数值解的表达式。

11.1 解析解

对于能够求出解析解的表达式，一般采用的是MATLAB中的指令dsolve，一些老的教材中可能会有很多过时的使用方法。在MATLAB 2019版本中，dsolve已经不支持参数为字符串的格式了。为了能够得到较为准确的使用方法，建议直接使用help dsolve指令查看使用文档。
参考下面的几个例子：

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
S = dsolve(eqn)
/****************************************/
syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
cond = y(0) == 5;
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)
/****************************************/
syms y(t) a b
eqn = diff(y,t,2) == a^2*y;
Dy = diff(y,t);
cond = [y(0)==b, Dy(0)==1];
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)
/****************************************/
syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y];
S = dsolve(eqns)
/****************************************/
syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t)==z, diff(z,t)==-y];
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

11.2 数值解

非线性微分方程组通常无法求出解析解，即使是线性常微分方程，如果不能获得变系数的积分，也无法给出解的表达式，因此这个时候就需要用到求常微分方程的数值解。
求常微分方程的数值解的关键在于如何表达出函数的导数关系式，一个很容易想到的思路是，将导数转变为差商的形式，由此也就有了Euler法，此外，还有龙格·库塔法，具体原理建议搜索相关资料。这里主要介绍使用方法。

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