0x00 最大流

最大流量问题涉及通过最大单源单汇流网络找到可行流量。如图所示。

每个边缘都标有容量，即可以携带的最大物品数量。最大流问题是找出可以从顶点source到顶点sink总的物品数量（最大的那个）。

如上图所示，当0->1和2->1汇聚的时候不能超出1->3的值12（1的输出最大为12）。最后可以到达5的最大物品个数就是19+4=23。也就是每条边和每个顶点要满足：

每条边上的流量不超过每条边的给定容量。
除source和sink之外，每个顶点的流入流等于流出流。

0x01 残差网络和增广路径

对于解决最大流的问题，我们首先将问题简单化，如图所示

首先可以想到的思路就是每次流过的值最大就好啦。所以，从S出发每次选择可以流出的最大流。

通过这种方式的得到的最后结果是3，显然这是错误的（应该是5）。我们首先将上面的结果中被删除的部分拿出来（没有被使用的流）。

通过该删除部分可以构成残差网络。给定图形GGG和其中的流fff，我们形成一个新的流网络GfG_fGf，该网络具有相同的顶点集GGG，并且每个GGG边缘具有两个边。对于图GGG的边e=(1,2)e =(1,2)e=(1,2) ，对应流为f(e)f(e)f(e)，容量为c(e)c(e)c(e)，形成的GfG_fGf的方向为1->2的边（前向弧）容量为c(e)−f(e)c(e)-f(e)c(e)−f(e)，方向为2->1的边（后向弧）的容量为f(e)f(e)f(e)。残差网络如图所示：

参差网络的思想对于解决最大流问题非常有用。

还有一个需要用到的概念是增广路径。所谓增广路径，是指这条路径上的流可以修改，通过修改，使得整个网络的流值增大。设fff是一个可行流，PPP是从源点sss到终点（汇点）ttt的一条路，若ppp满足下列条件：

在ppp上的所有前向弧(vi→vj)(v_i→v_j)(vi→vj)都是非饱和弧，即0≤fi,j<ci,j0≤f_{i,j}<c_{i,j}0≤fi,j<ci,j
在ppp上的所有后向弧(vi←vj)(v_i←v_j)(vi←vj)都是非零弧，即0<fi,j≤ci,j0<f_{i,j}≤c_{i,j}0<fi,j≤ci,j

则称ppp为(关于可行流fff的)一条可增广路径。

0x02 Ford-Fulkerson算法

首先需要知道最大流最小割定理。如果fff是具有源点sss和汇点ttt的流网络G=(V,E)G = (V, E)G=(V,E)中的一个流，则下列条件是等价的：

fff是GGG的一个最大流。
残留网络GfG_fGf不包含增广路径。
对GGG的某个割(S,T)(S, T)(S,T)，有∣f∣=c(S,T)|f| = c(S, T)∣f∣=c(S,T)。

上述定理的证明可以参看这里定理证明，这里就不细说。

Ford-Fulkerson算法是一种迭代方法。开始时，对所有u,v∈Vu, v ∈ Vu,v∈V有f(u,v)=0f(u, v) = 0f(u,v)=0，即初始状态时流的值为000。在每次迭代中，可通过寻找一条增广路径来增加流值。增广路径可以看做是从源点sss到汇点ttt之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出为止。最大流最小割定理将说明在算法终止时，这一过程可产生出最大流。

from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self,graph): self.graph = graph self.ROW = len(graph) def bfs(self, s, t, parent):visited = [False]*self.ROWqueue = [s] visited[s] = Truewhile queue: u = queue.pop(0) for ind, val in enumerate(self.graph[u]): if visited[ind] == False and val > 0 : queue.append(ind) visited[ind] = Trueparent[ind] = u return True if visited[t] else Falsedef FordFulkerson(self, source, sink): parent = [-1]*self.ROW max_flow = 0 while self.bfs(source, sink, parent): #判断增广路径 path_flow, s = float("Inf"), sinkwhile s != source: #计算增广路径的最小流量，通过最小流量计算残差网络path_flow = min(path_flow, self.graph[parent[s]][s]) s = parent[s] max_flow += path_flow v = sink while v != source: #计算残差网络u = parent[v] self.graph[u][v] -= path_flow self.graph[v][u] += path_flow v = parent[v] return max_flow graph = [[0, 16, 13, 0,  0,  0], [0, 0,  10, 12, 0,  0], [0, 4,  0,  0,  14, 0], [0, 0,  9,  0,  0, 20], [0, 0,  0,  7,  0,  4], [0, 0,  0,  0,  0,  0]] g = Graph(graph)
source, sink = 0, 5
print("The maximum possible flow is %d " % g.FordFulkerson(source, sink))

该算法的时间复杂度是O(VE2)O(VE^2)O(VE2)。

0x03 Dinic算法

Ford-Fulkerson算法对于稀疏图来说还不错，但是当边的数目过多的时候我们就需要更好的Dinic算法，该算法的时间复杂度是O(EV2)O(EV^2)O(EV2)。

首先使用给定的图初始化残差网络（和之前做法一样），如图所示。

第一次迭代：我们使用BFS为所有节点分配级别，同事需要检查是否有增广路径（残差网络中是否存在s→ts→ts→t路径）。

现在，我们使用级别来发送流（意味着每个流路径的级别都应为0、1、2、3）。与Ford-Fulkerson算法相比，我们一次发送三个流。

路径s–1–3–ts – 1 – 3 – ts–1–3–t上有4个流量单位。
路径s–1–4–ts – 1 – 4 – ts–1–4–t上有6个流量单位。
路径s–2–4–ts – 2 – 4 – ts–2–4–t上有4个流量单位。

总流量=4 + 6 + 4 = 14。一轮迭代后，残差图变为下图。

第二次迭代：我们使用bfs遍历上述修改后的残差图，为所有节点分配新级别。

现在，我们使用级别来发送流（意味着每个流路径的级别都应为0、1、2、3、4）。这次我们只能发送一个流。

路径s–2–4–3–ts – 2 – 4 – 3 – ts–2–4–3–t上有5个流量单位

总流量=总流量+ 5 = 19。二轮迭代后，残差图变为下图。

第二次迭代：此时已经没有增广路径了，所以结束。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10, M = N * 2;
struct Edge {int to, next, w;
} edge[M];int cur[N], head[N], idx = -1; //cur用于当前弧优化
int n, m, s, t;void add(int u, int v, int w)
{edge[++idx].to = v;edge[idx].next = head[u];edge[idx].w = w;head[u] = idx;
}int q[N], level[N];
bool bfs(int u, int v) //判断是否存在增广路径，构建路径级别
{int hh = 0, tt = 0;q[0] = u;memset(level, -1, sizeof level);level[u] = 0;while (hh <= tt){int tmp = q[hh++];for (int i = head[tmp]; ~i; i = edge[i].next){int son = edge[i].to;if (edge[i].w <= 0 || ~level[son]) continue;level[son] = level[tmp] + 1;q[++tt] = son;}}return ~level[v];
}int dfs(int u, int v, int flow) //寻找增广路径
{if (u == v) return flow;int res = 0;//注意使用引用，这样i变化的同时也能改变cur[u]的值，达到记录当前弧的目的for (int& i = cur[u]; ~i; i = edge[i].next){int son = edge[i].to;if (edge[i].w <= 0 || level[son] != level[u] + 1) continue;if (res = dfs(son, v, min(edge[i].w, flow))){edge[i].w -= res; edge[i^1].w += res;return res;}}return res;
}int dinic(int u, int v)
{int res = 0;while (bfs(u, v)){for (int i = 0; i <= n; i++) cur[i] = head[i];res += dfs(u, v, 0x3f3f3f3f);}return res;
}int main()
{cin >> n >> m >> s >> t;memset(head, -1, sizeof head);for (int i = 0; i < m; ++i){int a, b, w;cin >> a >> b >> w;add(a, b, w), add(b, a, 0);}cout << dinic(s, t);return 0;
}

reference:

https://www.geeksforgeeks.org/max-flow-problem-introduction/

https://www.geeksforgeeks.org/ford-fulkerson-algorithm-for-maximum-flow-problem/

https://www.geeksforgeeks.org/dinics-algorithm-maximum-flow/

https://www.cnblogs.com/gaochundong/p/ford_fulkerson_maximum_flow_algorithm.html

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