近世代数概论------有理数与域

域
有理数域构造
线性方程联立
有序域
*正整数公理
*皮亚诺定理

域

在交换环中定义有乘法，但是其不能像加法一样保证对任意元素aaa都含有逆元a−1a^{-1}a−1，即元素与其逆元乘积为幺元a∗a−1=1a * a^{-1}=1a∗a−1=1。
域：在交换环的基础上，满足乘法运算上的任意非零元素都含有逆元。
构成域的集合显然不能仅仅只是整数，应当扩大到有理数才能满足逆元的条件。对应的消去律也是满足的：

对于非零的c，ca=cbca=cbca=cb，a=1∗a=c−1∗c∗a=c−1∗c∗b=1∗b=ba=1 * a=c^{-1} * c * a=c^{-1} * c * b=1 * b=ba=1∗a=c−1∗c∗a=c−1∗c∗b=1∗b=b，消去律成立。
显然域满足整环的条件。

在域中，非零的除法是可以唯一确定的。

通过消去律可以得到，a不为0时，ax=bax=bax=b的解为x=a−1bx=a^{-1}bx=a−1b，显然这个解是唯一的：ax=b,ay=bax=b,ay=bax=b,ay=b，由消去律x=a−1b=yx=a^{-1}b=yx=a−1b=y，对应的a−1a^{-1}a−1使用1a\frac{1}{a}a1进行表示。

域中的商有如下定律：

ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}ba=dc，当且仅当ad=bcad=bcad=bc
ab±cd=ad±bcbd\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}ba±dc=bdad±bc
ab∗cd=acbd\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}ba∗dc=bdac
ab+(−ab)=0\frac{a}{b}+(-\frac{a}{b})=0ba+(−ba)=0
ab∗ba=1\frac{a}{b} * \frac{b}{a}=1ba∗ab=1，当ab≠0\frac{a}{b}\not=0ba=0

证1：ab=a∗b−1=d−1∗da∗b−1=d−1∗cb∗b−1=d−1∗c=cd\frac{a}{b}=a * b^{-1}=d^{-1} * da * b^{-1}=d^{-1} * cb * b^{-1}=d^{-1} * c=\frac{c}{d}ba=a∗b−1=d−1∗da∗b−1=d−1∗cb∗b−1=d−1∗c=dc，右边到左边证毕，ad=a∗b−1∗b∗d=ab∗b∗d=cd∗b∗d=c∗d−1∗d∗b=bcad=a* b^{-1} * b * d=\frac{a}{b} * b * d=\frac{c}{d} * b * d=c * d^{-1} * d * b=bcad=a∗b−1∗b∗d=ba∗b∗d=dc∗b∗d=c∗d−1∗d∗b=bc，左边到右边证毕。

证2：bx=a,dy=cbx=a,dy=cbx=a,dy=c，x与y分别为x=ab,y=cdx=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}x=ba,y=dc为其解，于是有dbx=da,bdy=bcdbx=da,bdy=bcdbx=da,bdy=bc，于是bd(x±y)=ad±bcbd(x\pm y)=ad\pm bcbd(x±y)=ad±bc，x±yx\pm yx±y为方程bdx=ad±bcbdx=ad\pm bcbdx=ad±bc的解，即x=ad±bcbdx=\frac{ad\pm bc}{bd}x=bdad±bc证毕。

证3：bx=a,dy=cbx=a,dy=cbx=a,dy=c，x与y分别为x=ab,y=cdx=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}x=ba,y=dc为其解，于是有dbxy=acdbxy=acdbxy=ac，xyxyxy为方程dbx=acdbx=acdbx=ac的解，即x=acbdx=\frac{ac}{bd}x=bdac证毕。

证4：ab+(−ab)=ab−bab2=0\frac{a}{b}+(-\frac{a}{b})=\frac{ab-ba}{b^2}=0ba+(−ba)=b2ab−ba=0证毕。

证5：ab∗ba=abba\frac{a}{b} * \frac{b}{a}=\frac{ab}{ba}ba∗ab=baab，其为ab≠0,abx=ba\frac{a}{b}\not=0,abx=baba=0,abx=ba的解，x=1x=1x=1满足方程证毕。

子域： 原域中的子集能够满足相应的加法与乘法运算，并满足消去律等条件，构成的新域为原域的子域。

子集中包含原域的零元域幺元
在加法与乘法之下是封闭的
子集中的每个元素对于加法与乘法都含有对应的逆元素(加法中也就是负元素)

例子： 有理数域Q[2]Q[\sqrt 2]Q[2]乘法消去律对应为：
对于任意的a+b2a+b\sqrt2a+b2都存在(a+b2)−1(a+b\sqrt2)^{-1}(a+b2)−1使得(a+b2)(a+b2)−1=1(a+b\sqrt2)(a+b\sqrt2)^{-1}=1(a+b2)(a+b2)−1=1，对于(a+b2)−1=1a+b2(a+b\sqrt2)^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt2}(a+b2)−1=a+b21进行分母有理化有：
1a+b2=1a+b2(a−b2a−b2)=aa2−2b2−ba2−2b22\frac{1}{a+b\sqrt2}=\frac{1}{a+b\sqrt2}(\frac{a-b\sqrt2}{a-b\sqrt2})=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt2a+b21=a+b21(a−b2a−b2)=a2−2b2a−a2−2b2b2，在整数范围内的a，b是可以保证a2−2b2a^2-2b^2a2−2b2不为0的。

有理数域构造

使用一种数偶的方式对商进行表示bx=a,x=(a,b)bx=a,x=(a,b)bx=a,x=(a,b)，而对应的该数偶的同余关系为(a,b)≡(c,d)(a,b)\equiv(c,d)(a,b)≡(c,d)，当且仅当ad=bcad=bcad=bc，其满足自反律，对称律和传递律，但不是恒等的关系((a,b)=(a′,b′),a=a′,b=b′)((a,b)=(a',b'),a=a',b=b')((a,b)=(a′,b′),a=a′,b=b′)。

通过这一商的形式，在整环D上进行商域Q的构造，其中的元素为对应的数偶(a,b)(a,b)(a,b)，相应的a,b∈D,b≠0a,b\in D,b\not=0a,b∈D,b=0，在此基础上定义加法与乘法运算：

加法运算： (a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)
乘法运算： (a,b)∗(c,d)=(ac,bd)(a,b) * (c,d)=(ac,bd)(a,b)∗(c,d)=(ac,bd)

显然b与d是不为零的，新产生的bd也不为零，所以对应的加法与乘法运算是满足封闭性的。

与加法中类似的同余关系：
(a,b)≡(a′,b′)(a,b)\equiv(a',b')(a,b)≡(a′,b′)，则(a,b)+(a′′,b′′)≡(a′,b′)+(a′′,b′′)(a,b)+(a'',b'')\equiv(a',b')+(a'',b'')(a,b)+(a′′,b′′)≡(a′,b′)+(a′′,b′′)，即(ab′′+a′′b,bb′′)≡(a′b′′+a′′b′,b′b′′)(ab''+a''b,bb'')\equiv (a'b''+a''b',b'b'')(ab′′+a′′b,bb′′)≡(a′b′′+a′′b′,b′b′′)，当且仅当(ab′′+a′′b)b′b′′=(a′b′′+a′′b′)bb′′(ab''+a''b)b'b''=(a'b''+a''b')bb''(ab′′+a′′b)b′b′′=(a′b′′+a′′b′)bb′′
与乘法中类似的同余关系：
(a,b)≡(a′,b′),ab′=a′b(a,b)\equiv(a',b'),ab'=a'b(a,b)≡(a′,b′),ab′=a′b，则(a,b)∗(a′′,b′′)≡(a′,b′)∗(a′′,b′′)(a,b) * (a'',b'')\equiv(a',b') * (a'',b'')(a,b)∗(a′′,b′′)≡(a′,b′)∗(a′′,b′′)，即(aa′′,bb′′)≡(a′a′′,b′b′′)(aa'',bb'')\equiv(a'a'',b'b'')(aa′′,bb′′)≡(a′a′′,b′b′′)，显然ab′=a′b,aa′′b′b′′=bb′′a′a′′ab'=a'b,aa''b'b''=bb''a'a''ab′=a′b,aa′′b′b′′=bb′′a′a′′成立。
对应的同余关系满足相等关系所要求的性质，其与相等关系具有一致性。

分配律的证明：
对应的r1=(a1,b1),r2=(a2,b2),r3=(a3,b3)r_1=(a_1,b_1),r_2=(a_2,b_2),r_3=(a_3,b_3)r1=(a1,b1),r2=(a2,b2),r3=(a3,b3)为任意三个数偶，证r1(r2+r3)=r1r2+r1r3r_1(r_2+r_3)=r_1r_2+r_1r_3r1(r2+r3)=r1r2+r1r3
左边=(a1,b1)[(a2,b2)+(a3,b3)](a_1,b_1)[(a_2,b_2)+(a_3,b_3)](a1,b1)[(a2,b2)+(a3,b3)]
=(a1,b1)(a2b3+a3b2,b2b3)(a_1,b_1)(a_2b_3+a_3b_2,b_2b_3)(a1,b1)(a2b3+a3b2,b2b3)
=(a1a2b3+a1a3b2,b1b2b3)(a_1a_2b_3+a_1a_3b_2,b_1b_2b_3)(a1a2b3+a1a3b2,b1b2b3)
右边=(a1,b1)(a2,b2)+(a1,b1)(a3,b3)(a_1,b_1)(a_2,b_2)+(a_1,b_1)(a_3,b_3)(a1,b1)(a2,b2)+(a1,b1)(a3,b3)
=(a1a2,b1b2)+(a1a3+b1b3)(a_1a_2,b_1b_2)+(a_1a_3+b_1b_3)(a1a2,b1b2)+(a1a3+b1b3)
=(a1a2b1b3+a1a3b1b2,b1b2b1b3)(a_1a_2b_1b_3+a_1a_3b_1b_2,b_1b_2b_1b_3)(a1a2b1b3+a1a3b1b2,b1b2b1b3)
左边与右边之间相差一个b1b_1b1，于是改证(b1x,b1y)≡(x,y)(b_1x,b_1y)\equiv (x,y)(b1x,b1y)≡(x,y)，即bxy=byxbxy=byxbxy=byx，成立。

同样的结合律与交换律同理，对应加法与乘法运算中的幺元：

加法： (0,1)+(a,b)=(0∗b+1∗a,1∗b)=(a,b)(0,1)+(a,b)=(0 * b+1 * a,1 * b)=(a,b)(0,1)+(a,b)=(0∗b+1∗a,1∗b)=(a,b)
乘法： (1,1)∗(a,b)=(1∗a,1∗b)=(a,b)(1,1) * (a,b)=(1 * a,1 * b)=(a,b)(1,1)∗(a,b)=(1∗a,1∗b)=(a,b)
以元素(a,b)(a,b)(a,b)为例，乘法与加法的逆元：
加法： (a,b)+(−a,b)=(a∗b+b∗(−a),b∗b)=(0,b2)(a,b)+(-a,b)=(a * b+b * (-a),b * b)=(0,b^2)(a,b)+(−a,b)=(a∗b+b∗(−a),b∗b)=(0,b2)
显然(0,b2)(0,b^2)(0,b2)与(0,1)(0,1)(0,1)相等。
乘法： ab∗ba=1=(1,1)=(a,b)(b,a)\frac{a}{b} * \frac{b}{a}=1=(1,1)=(a,b)(b,a)ba∗ab=1=(1,1)=(a,b)(b,a)
对应逆元存在，消去律也满足。

任意整环D的商域Q(D)为域。

进一步可以扩展乘法的逆元关系为(a,b)(x,y)≡(c,d)(a,b)(x,y)\equiv(c,d)(a,b)(x,y)≡(c,d)，(a,b)≢(0,1)(a,b)\not \equiv (0,1)(a,b)≡(0,1)有解。

证明： 将(bc,ad)(bc,ad)(bc,ad)带入(x,y)(x,y)(x,y)有：(a,b)(bc,ad)=(abc,bad)(a,b)(bc,ad)=(abc,bad)(a,b)(bc,ad)=(abc,bad)，(abc,bad)=(ab,ba)(c,d)=(c,d)(abc,bad)=(ab,ba)(c,d)=(c,d)(abc,bad)=(ab,ba)(c,d)=(c,d)，由于(a,b)≢(0,1)(a,b)\not \equiv (0,1)(a,b)≡(0,1)，所以对应的ad≠0ad\not=0ad=0保证有解。

商可以看作一种映射关系，即整环到商域中的映射，商域中的每个元素都是整环中两个元素的商。整环中的元素a可以表示为商域中为(a,1)，并且满足对应的加法与乘法运算：

(a,1)+(b,1)=(a+b,1)(a,1)+(b,1)=(a+b,1)(a,1)+(b,1)=(a+b,1)
(a,1)∗(b,1)=(a∗b,1)(a,1) * (b,1)=(a * b,1)(a,1)∗(b,1)=(a∗b,1)
(a,1)=(b,1)(a,1)=(b,1)(a,1)=(b,1)，当且仅当a=ba=ba=b
整环中的元素a与商域中的元素(a,1)(a,1)(a,1)存在一一对应的关系，即整环到域上的子整环的一个同构关系
商的数偶关系(a,b)(a,b)(a,b)可以用(b,1)x=(a,1)(b,1)x=(a,1)(b,1)x=(a,1)的解来表示

整数环ZZZ可以作为一个子整环嵌入到商域Q(Z)Q(Z)Q(Z)中，域中的每个元素都是整数的商(a,b),b≠0(a,b),b\not=0(a,b),b=0。

对于任意的整环：
整环DDD作为整环包含在任意的域FFF中，FFF中的所有ab,a,b∈D,b≠0\frac{a}{b},a,b\in D,b\not= 0ba,a,b∈D,b=0形式的元素构成的集合是FFF的一个子域，记为SSS，并且ab\frac{a}{b}ba与(a,b)(a,b)(a,b)之间存在双射关系，该子域与整环DDD的商域Q(D)Q(D)Q(D)是同构的。

域的同构： 两个域F,F′F,F'F,F′作为交换环时的同构，其满足：xxx与x′x'x′对应，yyy与y′y'y′对应,则(x+y),(x′+y′)(x+y),(x'+y')(x+y),(x′+y′)对应，xy,x′y′xy,x'y'xy,x′y′对应。

证：上面定理中的ab,a,b∈D,b≠0\frac{a}{b},a,b\in D,b\not= 0ba,a,b∈D,b=0作为商的形式，在加法与乘法上是封闭的，与商域证明的形式相似，很容易可以得到SSS为FFF的一个子域，下面主要证明其同构：(分别进行商的加法与乘法，数偶的加法与乘法)

ab+cd=ad+bcbd,(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)ba+dc=bdad+bc,(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)加法符合映射关系。

ab∗cd=acbd,(a,b)∗(c,d)=(ac,bd)\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},(a,b) * (c,d)=(ac,bd)ba∗dc=bdac,(a,b)∗(c,d)=(ac,bd)乘法符合映射关系。

这里的D中的每个元素a也通过a1,(a,1)\frac{a}{1},(a,1)1a,(a,1)的方式映射。
整数环Z可以按照唯一的方式来嵌入到域Q=Q(Z)Q=Q(Z)Q=Q(Z)中，使得Q中的每个元素为两个整数的商。 (整数环构造有理数域)

线性方程联立

任意有限整环都是一个域

证：对于有限整环而言，可以列出所有的元素：b1,b2,...bnb_1,b_2,...b_nb1,b2,...bn，现要说明对于任意的非零元素a，其都有逆元，将所有元素乘a得到：ab1,ab2,...abnab_1,ab_2,...ab_nab1,ab2,...abn，显然对于bi≠bj,abi≠abjb_i\not=b_j,ab_i\not=ab_jbi=bj,abi=abj，于是得到的ab1,ab2,...abnab_1,ab_2,...ab_nab1,ab2,...abn与b1,b2,...bnb_1,b_2,...b_nb1,b2,...bn是等同的，其中必有幺元存在，即abi=eab_i=eabi=e，对应的bib_ibi为aaa的逆元，证毕。

ZpZ_pZp为模p上的环，并且p为素数，其中寻找每个元素aaa的逆元素的运算实际为：ax=1(a≠0)ax=1(a\not=0)ax=1(a=0)的解，而且是同余方程ax≡1ax\equiv 1ax≡1的解，而对应的a与p是互素的，所以必有解。

ZpZ_pZp为模p上的环，且p为素数，ZpZ_pZp为域。

方程组的求解可以借助于行列式：

例子：
{ax+by=ecx+dy=f\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}{ax+by=ecx+dy=f
通过消去可以得到(ad−bc)x=de−bf,(ad−bc)y=af−ce(ad-bc)x=de-bf,(ad-bc)y=af-ce(ad−bc)x=de−bf,(ad−bc)y=af−ce
通过定义行列式△=∣abcd∣=ad−bc\bigtriangleup=\left|\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc△=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc，对应的△x=∣ebfd∣=de−bf,△y=∣aecf∣=af−ce\bigtriangleup_x=\left|\begin{array}{ccc}e&b\\f&d\end{array}\right|=de-bf,\bigtriangleup_y=\left|\begin{array}{ccc}a&e\\c&f\end{array}\right|=af-ce△x=∣∣∣∣efbd∣∣∣∣=de−bf,△y=∣∣∣∣acef∣∣∣∣=af−ce，于是对应的解x=△x△,y=△y△x=\frac{\bigtriangleup_x}{\bigtriangleup},y=\frac{\bigtriangleup_y}{\bigtriangleup}x=△△x,y=△△y，即线代中克莱姆法则的解法。

高斯消去

对于更一般的方程组{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2........a31x1+a32x2+...+a3nxn=bm\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\........\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+...+a_{3n}x_n=b_m\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2........a31x1+a32x2+...+a3nxn=bm，其对应的aij,bi,xia_ij,b_i,x_iaij,bi,xi都限定在指定域中，现在对消去的过程进行讨论：
情况(1) 如果对应的第一列的a均为0，则方程组转变为一个里层的小的方程组，对应的x1x_1x1任意取值均可；
情况(2) 如果对应的第一列a中存在非零数，则通过除法与减法，可以得到一个如下形式的同解方程组：
{x1+a12′x2+a13′x3+...+a1n′xn=b1′a22′x2+a23′x3+...+a2n′xn=b2′........am2′x2+am3′x3+...+amn′xn=bm′\begin{cases}x_1+a_{12}'x_2+a_{13}'x_3+...+a_{1n}'x_n=b_1'\\a_{22}'x_2+a_{23}'x_3+...+a_{2n}'x_n=b_2'\\........\\a_{m2}'x_2+a_{m3}'x_3+...+a_{mn}'x_n=b_m'\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1+a12′x2+a13′x3+...+a1n′xn=b1′a22′x2+a23′x3+...+a2n′xn=b2′........am2′x2+am3′x3+...+amn′xn=bm′
最终得到的是一个梯形方程组形如：
{x1+a12′x2+a13′x3+...+a1n′xn=b1′x2+a23′x3+...+a2n′xn=b2′........xr+...+arn′xn=br′\begin{cases}x_1+a_{12}'x_2+a_{13}'x_3+...+a_{1n}'x_n=b_1'\\x_2+a_{23}'x_3+...+a_{2n}'x_n=b_2'\\........\\x_r+...+a_{rn}'x_n=b_r'\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1+a12′x2+a13′x3+...+a1n′xn=b1′x2+a23′x3+...+a2n′xn=b2′........xr+...+arn′xn=br′
情况二中的对应就是梯形左边的边，而情况一中对应的x是可以自由取值的，所有得到了：

任意n个未知数表示的m个方程联立的线性方程组均可转化为一个等价的方程组，其第i个方程具有如下形式：
xi+ai,i+1xi+1+ai,i+2xi+2+...+ainxn=bix_i+a_{i,i+1}x_{i+1}+a_{i,i+2}x_{i+2}+...+a_{in}x_n=b_ixi+ai,i+1xi+1+ai,i+2xi+2+...+ainxn=bi
这是情况二中的方程，假设其个数为r(即线代中对应矩阵的秩)，那么还有m-r个形如：bk=0b_k=0bk=0的方程(情况一中的)。
特殊的所有的bib_ibi均为0，显然有x取全零的解，其称为齐次方程，对应的bib_ibi不全为零，则为非齐次方程。
方程数小于未知量数的齐次线性方程组必有非全零的解。

更多的细节可以参考一下线性代数，不再详述。

例子： 同余方程组的解法(mod11){3x+5y+7z≡65x+9y+6z≡72x+y+4z≡3(mod\ 11)\begin{cases}3x+5y+7z\equiv6\\5x+9y+6z\equiv7\\2x+y+4z\equiv3\end{cases}(mod 11)⎩⎪⎨⎪⎧3x+5y+7z≡65x+9y+6z≡72x+y+4z≡3

与一般的方程组不同的是其包含了一个(mod11)(mod\ 11)(mod 11)的条件，所以一般的加减乘除运算都要在最后进行取余运算，即在Z11Z_{11}Z11上进行的运算。
比如对于第一个方程式的除法运算，3x+5y+7z≡63x+5y+7z\equiv63x+5y+7z≡6为了提出x需要对两边同时做除3运算，由于是在域上的除法运算，显然除法得到的数仍在域上，原方程可以表示为3(x+9y+6z)≡63(x+9y+6z)\equiv63(x+9y+6z)≡6，11为素数，所以有解x+9y+6z≡2x+9y+6z\equiv2x+9y+6z≡2，之后再将方程1乘5减到方程二上，乘2减到方程三上，得到：
(mod11){x+9y+6z≡28y+9z≡85y+3z≡10(mod\ 11)\begin{cases}x+9y+6z\equiv2\\8y+9z\equiv8\\5y+3z\equiv10\end{cases}(mod 11)⎩⎪⎨⎪⎧x+9y+6z≡28y+9z≡85y+3z≡10
再对方程2类似操作得到y+8z≡1y+8z\equiv1y+8z≡1与方程3为7z≡57z\equiv57z≡5，除法后得到：
(mod11){x+9y+6z≡2y+8z≡1z≡7(mod\ 11)\begin{cases}x+9y+6z\equiv2\\y+8z\equiv1\\z\equiv7\end{cases}(mod 11)⎩⎪⎨⎪⎧x+9y+6z≡2y+8z≡1z≡7
最后带入一下为(mod11)z≡7,y≡0,x≡4(mod\ 11)z\equiv7,y\equiv0,x\equiv4(mod 11)z≡7,y≡0,x≡4。

有序域

又回到了有序的讨论上了，对应在有序整环上的三个性质：

加法律： 两个正整数的和仍为正整数。
乘法律： 两个正整数的积仍为正整数。
三分律： 对于整数a。其要么为0，要么为正整数，要么−a-a−a为正整数。

扩展到域上，如果域为有序的那么其必须也要满足这三个性质，就相当于将域作为整环看待，域作为整环的有序性即对应域上的有序性。

有理数域的有序性

有理数构成的域也是有序的，使用数偶(a,b)来表示域中的元素，先通过整数的正负来说明数偶的正负，显然ab>0ab>0ab>0有(a,b)>0(a,b)>0(a,b)>0，那么如果说明了ab>0ab>0ab>0有(a,b)>0(a,b)>0(a,b)>0能不能得到有序性呢？
如果(a,b)>0(a,b)>0(a,b)>0有ab>0ab>0ab>0，则全体有理数构成有序域。

证明：

加法律：数偶(a,b)>0,(c,d)>0(a,b)>0,(c,d)>0(a,b)>0,(c,d)>0，显然有ab>0,abd2>0,cd>0,cdb2>0ab>0,abd^2>0,cd>0,cdb^2>0ab>0,abd2>0,cd>0,cdb2>0，加法得到(ad+bc,bd)(ad+bc,bd)(ad+bc,bd)，对应(ad+bc)bd=abd2+cdb2>0(ad+bc)bd=abd^2+cdb^2>0(ad+bc)bd=abd2+cdb2>0，(ad+bc,bd)>0(ad+bc,bd)>0(ad+bc,bd)>0成立。

乘法律：数偶(a,b)>0,(c,d)>0(a,b)>0,(c,d)>0(a,b)>0,(c,d)>0，对应有ab>0,cd>0ab>0,cd>0ab>0,cd>0，乘法得到(ac,bd)(ac,bd)(ac,bd)，由abcd>0,(ac,bd)>0abcd>0,(ac,bd)>0abcd>0,(ac,bd)>0成立。

三分律：显然由整数上的三分律，可以得到ab在这三份之中，对应到(a,b)也对应成立。

数偶对应也保留了一般的整数，对应为(a,1)其符号也就是a的符号。而证明的过程实际只用到了整环的有序性，所以有序域也可以看作有序整环扩展出的商域具有有序性，并且由有序性可以得到如下的性质：

0<1a0<\frac{1}{a}0<a1，当且仅当a>0。
ab<cd\frac{a}{b}<\frac{c}{d}ba<dc，当且仅当abd2<b2cdabd^2<b^2cdabd2<b2cd
0<a<b0<a<b0<a<b可得0<1b<1a0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}0<b1<a1
a<b<0a<b<0a<b<0可得0>1a>1b0>\frac{1}{a}>\frac{1}{b}0>a1>b1
a12+a22+...+an2≥0a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\ge0a12+a22+...+an2≥0

*正整数公理

在之前整数的论述中并没有单独的对负数进行说明，而是假定了负数的存在，现在从正整数开始，其含有如下的性质，现在希望通过这些性质，可以由正整数完整的构造整数。

正整数上的加法与乘法(二元运算)是在正整数上封闭的，并且其满足结合律，交换律和分配律。
正整数中存在乘法的单位元素1，对一切正整数m均有m∗1=mm * 1=mm∗1=m。
正整数中对如下的消去律成立，若mx=nxmx=nxmx=nx，则m=nm=nm=n，若m+x=n+xm+x=n+xm+x=n+x，则m=nm=nm=n。
正整数中的任意两个元素m与n，仅存在后面三个关系中的一种，要么为m=nm=nm=n，要么存在一个整数x使m+x=nm+x=nm+x=n，要么则为m=x+nm=x+nm=x+n
正整数的任意子集，如果其中含有1，并且若其含有n时也含有n+1，则该子集包含正整数集中的每个元素。(数学归纳法)

为了更好的说明减法与负数，使用数偶(m,n)来表示一种差的关系x，可以看作正整数x集合到(n+x,n)集合的一个单射，即存在x使得n+x=mn+x=mn+x=m，再定义对应的相等与加减运算：

相等： (m,n)≡(r,s)(m,n)\equiv(r,s)(m,n)≡(r,s)有m+s=n+rm+s=n+rm+s=n+r，这个不是严格的相等(m=r,n=sm=r,n=sm=r,n=s)。
加法： (m,n)+(r,s)=(m+r,n+s)(m,n)+(r,s)=(m+r,n+s)(m,n)+(r,s)=(m+r,n+s)
乘法： (m,n)∗(r,s)=(mr+ns,ms+nr)(m,n) * (r,s)=(mr+ns,ms+nr)(m,n)∗(r,s)=(mr+ns,ms+nr)，即减法中的(m−n)(r−s)(m-n)(r-s)(m−n)(r−s)。
加法与乘法的运算显然可以得到加法律与乘法律，同样三分律也可类比：
三分律： 数偶必在这三种形式之中：(m,m)(为0)，(m+x,m)(为正)，(m,m+x)(为负)。
数偶的正负： 即n+x=mn+x=mn+x=m中x取值的正负。
单位元素： (2,1)(2,1)(2,1)
零元素： (1,1)(1,1)(1,1)
加法的逆元： (m,n)+(n,m)=(1,1)(m,n)+(n,m)=(1,1)(m,n)+(n,m)=(1,1)
相等关系： (m+x,m)=(n+y,n)(m+x,m)=(n+y,n)(m+x,m)=(n+y,n)，当且仅当x=yx=yx=y

通过对正整数集与其数偶可以构造出更大的整数系统，在该系统中减法是可行的，并且是一个有序整环，其正元素满足数学归纳法(良序原则)。
由于正整数元素之差满足相应的数偶定义可以构成整数环，所以包含正整数系统的任意整环包含一个与整数环同构的子整环。

*皮亚诺定理

正整数上的乘法与加法可以通过一种后继函数的形式进行定义：
正整数集合P与其后继函数S:S(n)=n+1S:S(n)=n+1S:S(n)=n+1有以下性质：

1∈P1\in P1∈P
对P中的每个元素n，均有P中的另一元素S(n)∈PS(n)\in PS(n)∈P与之对应。
后继函数的值域中没有1，即不存在S(n)=1S(n)=1S(n)=1的情况。
对后继函数S(n)=S(m)S(n)=S(m)S(n)=S(m)，可以得到m=nm=nm=n。
P的子集若包含1，并且其包含n时，也包含S(n)，则该子集必为P自身(数学归纳法)

这些性质便是正整数集的皮亚诺公理。

有序整环存在唯一的子集满足单位元素1与其后继函数S的皮亚诺定理。

证明：假设P为有序整环上所有满足(1)(2)的子集所构成的交集。显然P中包含1，并且由后继函数，其元素均为整数，通过良序原则的证明，其满足(5)，并且如果存在，则其为唯一子集，对于后继函数显然a+1=b+1a+1=b+1a+1=b+1，则有a=ba=ba=b，(4)成立，并且P中均为正整数，所以无法得到S(n)=1S(n)=1S(n)=1，(3)成立。

并且该子集对应的乘法、加法还有序对应同构于正整数集，即保留次序的同构，定义为序-同构。在这一基础上给出推论：

任意有序整环包含一个与整数环序-同构的子整环
任意有序域包含一个与有理数域序-同构的子域
在序-同构的意义下仅存在一个有序整环Z，其正元素构成良序集合。