一、理论基础

1、樽海鞘群算法

请参考这里。

2、基于衰减因子和动态学习的改进樽海鞘群算法

通过研究SSA的原理发现，由于位置更新搜索范围无约束，且精英个体的影响权重小，导致SSA在迭代后期不能进行很精确的搜索，跟随者不能很好的协助个体位置更新。因此，本文的改进思路从两个方面考虑：针对SSA在领导者更新阶段搜索范围不受限的问题，添加衰减因子，增强迭代后期的局部开发能力；针对跟随者位置更新的局限性，引入动态学习策略，提高全局探索能力。

（1）添加衰减因子

本文提出将衰减因子引入SSA，得到添加衰减因子的樽海鞘群算法(reduction factor salp swarm algorithm, RSSA)，使得领导者位置更新范围随着迭代次数的增加而逐渐减小，收敛前期避免陷入局部极值，收敛后期越来越逼近最优值，达到更高的求解精度。
添加衰减因子的领导者位置更新公式(1)如下：xj1={A(l)[Fj+c1((ubj−lbj)c2+lbj)],c3≥0.5A(l)[Fj−c1((ubj−lbj)c2+lbj)],c3<0.5(1)x_j^1=\begin{dcases}A(l)[F_j+c_1((ub_j-lb_j)c_2+lb_j)],\quad c_3≥0.5\\A(l)[F_j-c_1((ub_j-lb_j)c_2+lb_j)],\quad c_3<0.5\end{dcases}\tag{1}xj1={A(l)[Fj+c1((ubj−lbj)c2+lbj)],c3≥0.5A(l)[Fj−c1((ubj−lbj)c2+lbj)],c3<0.5(1)其中控制搜索范围的衰减因子A(l)A(l)A(l)是一个非线性递减函数，定义如下：A(l)=e−30(lL)(2)A(l)=\text e^{-30(\frac lL)}\tag{2}A(l)=e−30(Ll)(2)收敛前期，搜索范围不受限，个体可以充分在全局移动，充分发挥算法的全局搜索能力，避免陷入局部极值；收敛后期，随着个体越来越逼近最优值，搜索范围也逐渐减小，个体在限制范围内进行精确搜索，增强局部搜索能力，以达到更高的求解精度。

（2）引入动态学习

为了增强精英个体的影响权重，本文将动态学习策略引入SSA，得到引入动态学习的樽海鞘群算法(dynamic learning salp swarm algorithm, DSSA)，先比较xjix_j^ixji与xji−1x_j^{i-1}xji−1的适应值，在适应值较大的位置(即离最优值距离较远的位置)上添加削弱因子kkk，以削弱较差位置个体的影响权重，增强较优位置个体的影响权重。
引入动态学习策略的跟随者位置更新公式如下：xji={12(k×xji+xji−1),f(xji)≥f(xji−1)12(xji+k×xji−1),f(xji)<f(xji−1),i≥2(3)x_j^i=\begin{dcases}\frac12(k×x_j^i+x_j^{i-1}),\quad f(x_j^i)≥f(x_j^{i-1})\\\frac12(x_j^i+k×x_j^{i-1}),\quad f(x_j^i)<f(x_j^{i-1})\end{dcases},i≥2\tag{3}xji=⎩⎪⎨⎪⎧21(k×xji+xji−1),f(xji)≥f(xji−1)21(xji+k×xji−1),f(xji)<f(xji−1),i≥2(3)其中，f(xji)f(x_j^i)f(xji)和f(xji−1)f(x_j^{i-1})f(xji−1)分别表示两位置的适应值，kkk是服从参数为0.5的指数分布随机数。
在收敛过程中，精英个体能更好的发挥协助作用，帮助领导者做决策，不断向食物源逼近，提高寻优效率。

（3）RDSSA的实现流程

将RSSA和DSSA结合，同时改变领导者和跟随者的位置更新公式，可以得到新的优化算法RDSSA，提高领导者局部开发能力，增强跟随者的协助作用，以提高收敛速度，获得更好的优化效果。RDSSA的实现流程如下所示：
Step 1 设定种群规模NNN、迭代次数IterationIterationIteration、维数DDD和上下界；
Step 2 初始化樽海鞘群个体的位置，并计算各个体的适应值FitnessFitnessFitness，将最小适应值个体的位置确定为食物源位置FoodPositionFoodPositionFoodPosition；
Step 3 生成衰减因子A(l)A(l)A(l)，根据式(1)更新领导者位置；
Step 4 生成随机数kkk，根据式(3)更新跟随者位置；
Step 5 计算更新位置后的个体适应值，若小于当前FoodPositionFoodPositionFoodPosition，则更新FoodPositionFoodPositionFoodPosition；
Step 6 判断当前迭代次数是否达到预设迭代次数，若已达到，结束迭代，否则返回执行Step 3；
Step 7 输出FoodPositionFoodPositionFoodPosition位置及该位置上的适应值FitnessFitnessFitness。
RDSSA的伪代码如下图所示：

二、测试实验分析

本文将RDSSA与SSA、RSSA、DSSA进行对比，测试函数为文献[1]中的f1~f4(单峰函数)、f13~f16(多峰函数)。为了遵循实验公平性原则，实验基本参数保持一致：种群数量NNN设为50，函数维数DDD设为45，迭代次数IterationIterationIteration设为500，每次实验结果为独立运行30次的平均值。
结果显示如下：

函数：F1
SSA：最差值: 3524.9065,最优值:998.8546,平均值:1973.4763,标准差:582.9121
RSSA：最差值: 2.4903e-35,最优值:1.0959e-35,平均值:1.6129e-35,标准差:2.811e-36
DSSA：最差值: 6.9699e-41,最优值:3.4148e-46,平均值:3.1646e-42,标准差:1.2662e-41
RDSSA：最差值: 4.9458e-64,最优值:4.6386e-69,平均值:3.8904e-65,标准差:1.0147e-64
函数：F2
SSA：最差值: 32.3036,最优值:17.566,平均值:25.5322,标准差:3.8434
RSSA：最差值: 2.565e-18,最优值:1.85e-18,平均值:2.1873e-18,标准差:1.9092e-19
DSSA：最差值: 2.4503e-21,最优值:2.7966e-23,平均值:5.5804e-22,标准差:7.2559e-22
RDSSA：最差值: 1.3688e-32,最优值:3.4198e-35,平均值:1.7116e-33,标准差:2.8507e-33
函数：F3
SSA：最差值: 21595.011,最优值:2401.204,平均值:8614.5134,标准差:4872.8367
RSSA：最差值: 2.0317e-34,最优值:2.5577e-35,平均值:8.0167e-35,标准差:4.1236e-35
DSSA：最差值: 9.5259e-41,最优值:1.3566e-44,平均值:1.2344e-41,标准差:2.2173e-41
RDSSA：最差值: 1.7051e-63,最优值:6.9384e-68,平均值:1.9419e-64,标准差:4.0834e-64
函数：F4
SSA：最差值: 21.8,最优值:13.3484,平均值:17.419,标准差:1.9018
RSSA：最差值: 1.7379e-18,最优值:9.8417e-19,平均值:1.3292e-18,标准差:1.8175e-19
DSSA：最差值: 6.9331e-22,最优值:1.5417e-23,平均值:2.0608e-22,标准差:1.6876e-22
RDSSA：最差值: 4.5634e-33,最优值:2.0181e-35,平均值:1.0902e-33,标准差:1.2728e-33
函数：F13
SSA：最差值: 312.019,最优值:179.0085,平均值:253.6474,标准差:43.6681
RSSA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
DSSA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
RDSSA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F14
SSA：最差值: 7.2999,最优值:4.7999,平均值:6.1065,标准差:0.69428
RSSA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
DSSA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
RDSSA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F15
SSA：最差值: 199.4559,最优值:30.7942,平均值:94.9727,标准差:36.4916
RSSA：最差值: 1.7068e-36,最优值:3.0966e-37,平均值:9.8005e-37,标准差:3.8859e-37
DSSA：最差值: 1.3726e-42,最优值:3.5218e-46,平均值:1.4833e-43,标准差:3.5428e-43
RDSSA：最差值: 2.8864e-65,最优值:1.2069e-69,平均值:1.1872e-66,标准差:5.2416e-66
函数：F16
SSA：最差值: 1072.8803,最优值:330.2378,平均值:632.5687,标准差:168.8757
RSSA：最差值: 2.2621e-36,最优值:1.1537e-37,平均值:4.1213e-37,标准差:3.8945e-37
DSSA：最差值: 2.017e-42,最优值:3.048e-47,平均值:1.4334e-43,标准差:3.9035e-43
RDSSA：最差值: 3.958e-66,最优值:1.2899e-69,平均值:6.9684e-67,标准差:1.03e-66

结果表明，本文提出的改进算法在收敛精度和收敛速度方面有较大提升，具有良好的优化性能。

三、参考文献

[1] 陈雷, 蔺悦, 康志龙. 基于衰减因子和动态学习的改进樽海鞘群算法[J]. 控制理论与应用, 2020, 37(8): 1766-1780.

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