边缘检测——sobel索伯算子数学原理和应用

索伯算子（sobel operator）常用于边缘检测，在粗精度下，是最常用的边缘检测算子，以广泛应用几十年。sobel算子由两个3X3的卷积核构成，分别用于计算中心像素邻域的灰度加权差。分为垂直方向和水平方向的索伯滤波器Gx and
Gy。

sobel 算子的用途主要为:

边缘检测时: Gx用于检测纵向边缘, Gy用于检测横向边缘.
计算法线时: Gx用于计算法线的横向偏移, Gy用于计算法线的纵向偏移.

sobel算子应用时进行给定图像的卷积操作，卷积为计算图像大矩阵周围像素和滤波器矩阵对应位置元素的乘积, 然后把结果相加到一起, 最终得到的值就作为该像素的新值, 这样就完成了一次
卷积，之后继续移动卷积核，直到把大矩阵每个位置都运算完毕，因为相邻像素卷积结果一般具有相似输出，会产生大量冗余信息，一般为减少输出值会进行求取最大小值或者平均值的池化操作。

经sobel算子处理的图像（图像来源于网路，侵删）

值得注意的是，一般卷积操作会伴随卷积核的翻转，而sobel却不需要翻转，因为绕中心点旋转180°，并不影响结果。

sobel算子的卷积核的值是如何确定的呢？其实并不是经验数值，而是具有严格的数学推导，大部分教科书停留在对算子的直观解释上，一般描述为隔行或隔列的差分运算，然后做中心像素位置的2倍加权。实际上，并不是现行教科书上描述的简单的隔行/列的差分运算，中心像素位置也并未参与运算。目前流传的说法中以科学网彭真明老师提出的曼哈顿距离表述的推导更为准确。

以下对这一过程进行简单推导：

对中心像素Z5求取多个方向的灰度差分，对于Z5的8个邻域，分为4个方向，即对角线和水平垂直4个方向对： (z1, z9) ，(z2, z8)， (z3, z7)， (z6, z4)。

定义一个给定邻域方向梯度矢量g的幅度为

|g| = <像素灰度差分>/<相邻像素的距离>

这里特别注意的是，距离为曼哈顿距离，而非欧氏距离（欧氏距离将推导出Frei和Chen（1991）提出的边缘检测器，见附图3）
由曼哈顿距离得出，相邻对角线像素的距离为2，水平与垂直距离为1，即在中心像素周围邻域像素的对角线距离为4，垂直水平距离为2，带入上述梯度矢量g计算公式求平均梯度矢量有：

G = {(z3-z7)/4 * [1, 1]+ (z1-z9)/4 * [-1, 1]+ (z2-z8)/2 * [0, 1]+ (z6-z4)/2 * [1, 0] }/4

式中, 4个单位向量 [1, 1]，[-1, 1]，[0, 1], [1, 0] 控制差分的方向.

上式展开后，有

G = [(z3- z7- z1+ z9)/4 + (z6-z4)/2, (z3- z7+ z1- z9)/4 + (z2-z8)/2] /4

为保留低位字节和加速运算，去除分母，即扩大16倍。

这样，计算公式变为：

G’ = 16*G

= [z3 - z7- z1+ z9 + 2*( z6 - z4), z3 - z7 + z1- z9 + 2*( z2-z8)]

= [z3 + 2z6 + z9 - z1 - 2z4-z7, z1 + 2z2 + z3 - z7 - 2z8 - z9]

按x-y方向，可分别写成：

G’x = (z3 + 2z6 + z9) - (z1 + 2z4 + z7)

G’y = (z1 + 2z2 + z3) - (z7 + 2z8 + z9)

由上式可得sobel垂直水平卷积核。
附图3：

参考：
http://blog.sciencenet.cn/blog-425437-1139187.html
https://baike.baidu.com/item/索伯算子/22735660?fr=aladdin
https://www.cnblogs.com/freeblues/p/5738987.html
https://www.zhihu.com/question/49376084

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