[矩阵论] 上三角阵的逆(如果有)则也是上三角阵

2024-06-05 10:41:03

说实话，标题打上“矩阵论”三个字，着实有些丢人，这个问题只是线代的一些小知识，我在可逆矩阵的QR分解中，用到了这个小结论，想证明一下，有些无从下手，从网上参考了一些资料，才知道，最正确的方法还是用定义证明，最直观的方法还是用分块矩阵

1. 分块矩阵

(可逆)上三角矩阵可以写作：
[ACOB]\begin{bmatrix} \bf{A} & \bf{C} \\ \bf{O} & \bf{B} \end{bmatrix} [AOCB]
其逆可以写作：
[A−1−A−1CB−1OB−1]\begin{bmatrix} \bf{A}^{-1} & -\bf{A}^{-1} \bf{C} \bf{B}^{-1} \\ \bf{O} & \bf{B}^{-1} \end{bmatrix} [A−1O−A−1CB−1B−1]

顺便写一个，(可逆)下三角矩阵可以写作：
[AOCB]\begin{bmatrix} \bf{A} & \bf{O} \\ \bf{C} & \bf{B} \end{bmatrix} [ACOB]
其逆可以写作：
[A−1O−B−1CA−1B−1]\begin{bmatrix} \bf{A}^{-1} & \bf{O} \\ -\bf{B}^{-1} \bf{C} \bf{A}^{-1} & \bf{B}^{-1} \end{bmatrix} [A−1−B−1CA−1OB−1]

2. 定义证明

对于上三角矩阵
A=[a11∗∗a1n0a22...a2n............00...ann]\bf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & * & * & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡a110...0∗a22...0∗.........a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤
由A\bf{A}A 可逆，则
A−1=A∗∣A∣=1∣A∣[A11A21...An1A12A22...An2............A1nA2n...Ann]\bf{A}^{-1} = \frac{A^*}{|A|} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ ... & ... & ... & ... \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{bmatrix} A−1=∣A∣A∗=∣A∣1⎣⎢⎢⎡A11A12...A1nA21A22...A2n............An1An2...Ann⎦⎥⎥⎤

由于A\bf{A}A是一个上三角矩阵，则Aij=0(i<j)\bf{A}_{ij}=0(i<j)Aij=0(i<j), 也就是左下角的部分为0，这里可以手动画图感受一下

证毕

参考：

1. 下三角矩阵的逆矩阵_上三角或下三角矩阵的逆矩阵能否简便方法求出？？只有主副对角线不为0的矩阵能否直接写出逆矩阵。…

2. 怎么证明可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵书上提示说证明

3. 补充一句，上三角矩阵的乘积也是上三角矩阵

[矩阵论] 上三角阵的逆(如果有)则也是上三角阵相关推荐

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
矩阵论 1. 准备知识--复数域上矩阵,Hermite变换) 1.准备知识--复数域上的内积域正交阵 1.准备知识--Hermite阵,二次型,矩阵合同,正定阵,幂0阵,幂等阵,矩阵的秩 2. 矩阵分 ...
机器之心助推长三角建设数据智能产业新高地：2018长三角数据智能盛典
2018 年 12 月 20 日,「数聚上海·智创未来--2018 上海数据智能行业盛典」在上海市北高新成功举办.此次盛典由上海市经济和信息化委员会.上海市科学技术委员会指导,上海大数据联盟主办,上海 ...
C语言杨辉三角的程序分析,C语言：打印杨辉三角
打印出以下的杨辉三角(要求打印出十行) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...... 一.分析规律: 1.每一行的 ...
python使用np.logspace函数在对数刻度上创建一个对数等距数组实战：在对数刻度上创建一个数组（指定数值个数以及是否包含末尾界值）、使用不同的基数（底数）在对数刻度上构建等距数组、可视化
python使用np.logspace函数在对数刻度上创建一个对数等距数组实战:在对数刻度上创建一个数组(指定数值个数以及是否包含末尾界值).使用不同的基数(底数)在对数刻度上构建等距数组.可视化目 ...
php柱形图上显示数字怎么改回来,sigmaplot可以在柱状图上显示数值
公告: 为响应国家净网行动,部分内容已经删除,感谢读者理解. 话题:sigmaplot可以在柱状图上显示数值? 问题详情:sigmaplot可以在柱状图上显示数值?回答:[求助] 柱状图上如何让数值和 ...
bootstrap-fileinput上传文件的插件使用总结----编辑已成功上传过的图片
http://plugins.krajee.com/file-plugin-methods-demo 具体操作 http://plugins.krajee.com/file-preview-manag ...
阵元间隔为半波长的均匀分布16元线阵
% %阵元间隔为半波长的均匀分布16元线阵,预成指向士arcsin((2i-1)/16)(i=l,2,-,16)的16个均匀加权常规波束,远场有5个互 % 不相关的目标源发射信号,每个源相对于基阵的方 ...
tp5上传文件并获取文件路径_thinkphp表单上传文件并将文件路径保存到数据库中...
上传单个文件,此文以上传图片为例,上传效果如图所示创建数据库upload_img,用于保存上传路径 CREATE TABLE `seminar_upload_img` ( `id` int(11) ...
iis mysql php 附件上传大小_修改上传附件2M大小限制的方法/php+iis上传附件默认大小修改方法...
在服务器上架设好WordPress后,使用过程中发现,上传附件大小有2M的限制话说服务器就是本机,可以直接把文件拖到附件存储文件夹下,然后在需要附件的地方引用链接可是这种落后的方法终究不是办法,还 ...
vue上传文件到php,vue+axios+php如何实现上传文件功能？,formdata上传文件附加参数...
vue+axios+php如何实现上传文件功能?Vue Axios PHP如何实现上传文件的功能?, 推荐:<PHP视频教程> 当我们提交表单时,我们经常会遇到一些表单提交要求.vue的a ...

最新文章

热门文章