现代信号处理——自适应滤波器（离散维纳滤波器）

分析思路：在均方误差最小的前提下，求得系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)，进而计算滤波器的最小均方误差

一、维纳滤波器时域求解的方法

要使均方误差为最小，须满足

分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交原理。

正交原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。

FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程

当h(n)是一个长度为M的因果序列时，FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程表述为

FIR维纳滤波器的估计误差的均方值

结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是最小的。其阶数越高，采用的已知信息就越多，最小均方误差就越小，但相应的计算量也越大。

二、离散维纳滤波器的z域解

功率谱一定是大于等于0的，因此Hopt取值在0到1之间

因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到z域求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。

由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。

1、白化滤波器

任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成，即，任何一个随机信号，都可以看作是白噪声通过一个系统的输出。

一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。

如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也是一个物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白化x(n)。

利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程：

如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z)。

于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的约束情况加以讨论。

2、非因果IIR维纳滤波器的求解

求满足最小均方误差条件下的g(k)：

为求得相对于g(k)的最小均方误差值，令

假定信号与噪声不相关，即当E[s(n)v(n)]=0时可以得到：

信号和噪声不相关时，非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为

实际中，做不出非因果的系统，因此需要求解因果IIR维纳滤波器

3、因果IIR维纳滤波器的求解

参考视频：

https://www.bilibili.com/video/BV1wS4y1D7ng?p=7&vd_source=77c874a500ef21df351103560dada737

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