参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html

2.1.1 研究函数 $\dps{f(x)=\vlm{n}\f{x^n-1}{x^n+1}}$ 的连续性.

2.1.2 设 $$\bex f(x)=\seddm{ \f{\ln(1+x)}{x},&x>0\\ 0,&x=0\\ \f{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x},&-1\leq x<0 }. \eex$$ 试研究 $f(x)$ 在 $x=0$ 点的连续性. (东北重型机械学院)

2.1.3 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(x)>0$, 置 $$\bex R(x)=\sup_{0\leq y\leq x}f(y),\quad G(x)=\vlm{n}\sez{\f{f(x)}{R(x)}}^n,\quad \forall\ 0\leq x\leq 1. \eex$$ 试证: 当且仅当 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单增时, $G$ 是连续的. (吉林工业大学)

2.1.4 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且恒大于零, 按 $\ve-\del$ 定义证明: $\dps{\f{1}{f(x)}}$ 在 $[a,b]$ 上连续. (长沙铁道学院)

2.1.5 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续, 且 $f(0)=f(1)=0$, 则任意一个实数 $l\ (0<l<1)$, 必有实数 $x_0\ (0\leq x_0\leq 1)$, 使 $f(x_0)=f(x_0+l)$. (上海交通大学)

2.1.6 函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$, 证明: 在 $(a,b)$ 内存在点 $\xi$ 使 $$\bex f(\xi)=\f{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.\qwz{华中理工大学, 长春理工大学} \eex$$

2.1.7 设 $f(x)$ 在 $[a,a+2\al]$ 上连续, 证明: 存在 $x\in [a,a+\al]$, 使得 $$\bex f(x+\al)-f(x)=\f{1}{2}[f(a+2\al)-f(a)].\qwz{北京大学} \eex$$

2.1.8 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 若 $\dps{\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=+\infty}$, 且 $f(x)$ 在 $x=a$ 处达最小值, 若 $f(a)<a$, 证明: $F(x)=f(f(x))$ 至少在两点达到最小值. (哈尔滨工业大学)

2.1.9 若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $f(0)=f(1)$, 则对任何自然数 $n\geq 2$, 存在 $\xi_n\in [0,1]$, 使得 $$\bex f\sex{\xi_n+\f{1}{n}}=f(\xi_n).\qwz{湖北大学} \eex$$

2.1.10 设 $$\bex f_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 证明: (1) 方程 $f_n(x)=1$ 在 $[0,+\infty)$ 有唯一的实根 $x_n$; (2) 数列 $\sed{x_n}$ 有极限, 并求出 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (北京师范大学, 吉林大学)

2.1.11 讨论函数 $$\bex f(x)=\seddm{ x(1-x),&x\mbox{ 为有理数},\\ x(1+x),&x\mbox{ 为无理数} } \eex$$ 的连续性与可微性. (内蒙古大学)

2.1.12 用 $\ve-\del$ 语言证明:如果 $y=f(\mu)$ 在点 $\mu_0$ 连续, $\mu=\varphi(x)$ 在点 $x_0$ 连续, 且 $\mu_0=\varphi(x_0)$, 则 $f[\varphi(x)]$ 在点 $x_0$ 连续. (北京科技大学)

2.1.13 设 $\dps{f(x)=\seddm{ 1,&x\geq 0\\ -1,&x<0 }}$, $g(x)=\sin x$, 讨论 $f[g(x)]$ 的连续性. (南京大学)

2.1.14 证明: 若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上处处连续且为一一映射, 则 $f(x)$ 必为严格单调. (华东师范大学)

2.1.15 如果 $y=f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $\dps{\vlmp{x}f(x)=A}$ ($A$ 为有限数), 则 $y=f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界. (复旦大学)

2.1.16 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续, 且 $$\bex \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to b^-}f(x)=-\infty, \eex$$ 试证: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有最大值. (西北大学)

2.1.17 若函数 $f(x)$ 在 $D$ 上有界, 令 $$\beex \bea M_f(x_0,\del)&=\sup\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ m_f(x_0,\del)&=\inf\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ \eea \eeex$$ 证明: (1) 当 $\del\to 0^+$ 时 $M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)$ 的极限存在; (2) 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充要条件是: $$\bex \lim_{\del\to 0^+} [M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)]=0.\qwz{西北大学} \eex$$

2.1.18 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界, 试证函数 $$\bex m(x)=\inf_{a\leq t<x}f(t),\quad M(x)=\sup_{a\leq t<x}f(t) \eex$$ 在 $[a,b]$ 上左连续, 并举例说明它们可以不右连续.

2.1.19 已知 $$\bex f(x)=\seddm{ x,&x\leq x<1\\ k+1,&k\leq x<k+1 }\quad (k=1,2,3,\cdots). \eex$$ 求函数 $\dps{g(y)=\sup_{f(x)\leq y}x}$ 在 $y\geq 0$ 时的具体表达式, 并指出 $g(y)$ 在各点处的左右连续性. (北京航空航天大学)

2.1.20 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上定义, 并且有界, $a,b>1$ 为二常数, $\dps{0\leq x\leq \f{1}{a}}$ 时, 有 $f(ax)=bf(x)$, 试证 $f$ 在 $x=0$ 处右连续.

2.1.21 设 $y=f(x)$ 为 $X\to Y$ 的连续函数, $F$ 为 $Y$ 轴上的闭集, 试证 $f^{-1}(F)$ 为 $X$ 轴上的闭集.

2.1.22 函数 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f$ 单调, $x_0\in [a,b]$ 使得 $g(x_n)=f(x_{n=1})\ (n=1,2,\cdots)$, 证明: $\exists\ x_0\in [a,b]$, 使得 $f(x_0)=g(x_0)$.

2.1.23 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 内连续, 有界. 试证: $\forall\ T,\ \exists\ x_n\to+\infty$ 使得 $$\bex \vlm{n}[f(x_n+T)-f(x_n)]=0. \eex$$

2.1.24 $f$ 在 $[0,n]$ 上连续 ($n$ 为自然数), $f(0)=f(n)$. 试证: 至少存在 $n$ 组不同的解 $(x,y)$ 使得 $f(x)=f(y)$, 且 $y-x>0$ 为整数.

2.1.25 用确界存在原理 (非空有上 (下) 界数集必有上 (下) 界) 证明: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)\cdot f(b)<0$, 则存在一点 $c\in (a,b)$, 使 $f(c)=0$. (西北大学)

2.1.26 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)\cdot f(b)<0$, 应用闭区间套原理证明: 至少存在一点 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f(\xi)=0$. (北京科技大学)

2.1.27 用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)\cdot f(b)<0$, 则存在 $\xi\in [a,b]$, 使得 $f(\xi)=0$. (四川大学)

2.1.28 用闭区间套定理证明连续函数有界性定理, 即若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 则存在 $M>0$, 对一切 $x\in [a,b]$, $|f(x)|\leq M$. (华中师范大学)

2.2.1 设 $f$ 是区间 $I$ 上的实函数, 试证如下三条件有逻辑关系: 1) $\ra$ 2) $\ra$ 3). 1) $f$ 在 $I$ 上可导且导函数有界, 即: $\exists\ M>0$ 使得 $|f'(x)|\leq M\ (\forall\ x\in I)$. 2) $f$ 在 $I$ 上满足 Lipschitz 条件, 即: $\exists\ L>0$ 使得 $|f(x')-f(x'')|\leq L|x'-x''|\ (\forall\ x',x''\in I)$. 3) $f$ 一致连续.

2.2.2 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义. 为了检验 $f$ 在 $I$ 上是否一直连续, 今设计如下的实验: 取一根内空直径为 $\ve$ 的圆形直管 $(\ve>0)$, 截取长度为 $\del$ 的一段 ($\del>0$), 将直管中轴与 $x$ 轴平行放好. 然后让 $y=f(x)$ 的曲线平移从管内穿过. 若不论 $\ve>0$ 怎么笑, 只要事先将直管长度 $\del>0$ 取定足够短, 曲线就能平移穿过此管, 整个穿越过程, $\del$ 无需改变, 那么 $f$ 就在 $I$ 上一直连续, 否则就是非一致连续. 问这种理解正确么? (注: 一致性主要体现在整个穿越过程, $\del$ 无需改变上!)

2.2.3 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续, 又在 $[b,c]$ 上一致连续, $a<b<c$. 用定义证明: $f(x)$ 在 $[a,c]$ 上一致连续. (北京大学)

2.2.4 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内满足 Lipschitz 条件. 证明 $f(x^\al)$\ ($0<\al<1$ 为常数) 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续. (武汉大学)

2.2.5 证明: $y=\sin \sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续. (武汉大学)

2.2.6 用不等式叙述 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 不一致连续. (内蒙古大学)

2.2.7 证明: $\dps{g(x)=\sin\f{1}{x}}$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续. (中国科学院)

2.2.8 证明: 函数 $\dps{f(x)=\f{|\sin x|}{x}}$ 在每个区间 $J_1=\sed{x;-1<x<0}$, $J_2=\sed{x;0<x<1}$ 内一致连续. 但在 $J_1\cup J_2=\sed{x;\ 0<|x|<1}$ 非一致连续. (北京航空航天大学)

2.2.9 证明: 周期函数只要连续必定一致连续.

2.2.10 证明: 在区间 $I$ 上一致连续的二函数的和与差仍在 $I$ 上一致连续.

2.2.11 证明: 若 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $y=f(x)$ 有极限 $$\bex \vlmp{x}f(x)=A,\quad \vlmn{x}f(x)=B. \eex$$ 则 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续.

2.2.12 设单调有界函数 $f$ 在区间 $I$ ($I=(a,b)$ 或 $I=[a,+\infty)$) 上连续, 求证: $f$ 在 $I$ 上一致连续. (北京师范大学)

2.2.13 在有限开区间 $I$ 上一致连续的二函数之积仍由一致连续. 问商的情况怎样? 无穷区间上关于积的结论是否还成立? 证明之.

2.2.14 求证: $\dps{f(x)=\f{x^{314}}{\e^x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续. (哈尔滨工业大学)

2.2.15 设实函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 在 $(0,+\infty)$ 内处处可导, 且 $\dps{\vlmp{x}|f'(x)|=A}$ (有限或 $+\infty$). 证明: 当且仅当 $A$ 为有限数时, $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续. (清华大学)

2.2.16 函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上有有界的导函数, 且 $\dps{\lim_{x\to a^+}f'(x)}$ 与 $\dps{\lim_{x\to b^-}f'(x)}$ 均存在且有限. 试证: (1) $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续; (2) $\dps{\lim_{x\to a^+}f(x)}$, $\dps{\lim_{x\to b^-}f(x)}$ 均存在.

2.2.17 若 $f(x),g(x)$ 在区间 $I$ 上有有界导函数, 它们的乘积是否一致连续? 为什么?

2.2.18 讨论下列函数在所给区间上的一致连续性. (1) $y=\sqrt{x}\ln x$, 在 $[1,+\infty)$ 上; (北京大学) (2) $y=x\ln x$, 在 $(0,+\infty)$ 上; (武汉大学) (3) $\dps{y=\sqrt[3]{\f{x^2}{x+1}}}$, $x\geq 0$; (中国人民大学) (4) $y=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}$, 在 $\bbR$ 上; (5) $y=\sqrt{x^3-x^2-x+1}$, 在 $\bbR$ 上; (6) $\dps{y=\sqrt{\f{x^4+1}{x^2+1}}}$, 在 $\bbR$ 上; (7) $\dps{y=\sex{8+\f{1}{2}\cos^2x}\sin 3x}$, 在 $\bbR$ 上; (8) $y=\ln \sex{x+\sqrt{x^2+1}}$, 在 $\bbR$ 上; (9) $\dps{y=x+\arctan \sez{x\sex{1+\f{1}{x}}^x}}$, $x>0$; (10) $\dps{x=\f{3at}{1-t^2},\ y=\f{3at^2}{1+t^2}}$, $(-\infty<t<-1)$ 所决定的函数 $y=y(x)$.

2.2.19 设 $f(x)$ 在 $[c,+\infty)$ 上连续, 且 $x\to +\infty$ 时, $f(x)$ 有渐近线 $y=ax+b$, 试证: $f(x)$ 在 $[c,+\infty)$ 上一致连续.

2.2.20 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $\dps{\vlmp{x}[f(x)-cx-d]=0\ (c,d}$ 为常数), 求证 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 一致连续. (北京师范大学)

2.2.21 证明 $\dps{f(x)=\seddm{ |x|\sex{2x+\sin\f{1}{x}},&\mbox{当 }x\neq0\mbox{ 时},\\ 0,&\mbox{当 }x=0\mbox{ 时} }}$ 在 $\bbR$ 上一致连续.

2.2.22 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 求证: 存在一函数 $\psi$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有性质: (1) $\psi$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调上升, 且当 $t\geq b-a$ 时, $\psi(t)=$ 常数; (2) 对任意 $x',x''\in [a,b]$ 有 $$\bex |f(x')-f(x'')|\leq \psi(|x'-x''|); \eex$$ (3) $\dps{\lim_{t\to 0^+} \psi(t)=0}$. (北京师范大学)

2.3.1 完成定理 3 的证明.

2.3.2 试对下半连续函数叙述定理 7 的对偶结果, 并作出证明.

2.3.3 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上分别是上、下半连续的, 且 $f(x)\leq g(x)$, 证明: (1) $\forall\ \ve>0,\ \exists\ \del>0$, 当 $x',x''\in [a,b]$, $|x'-x''|<\del$ 时, $f(x')-g(x'')<\ve$. (2) 试由此推出 Cantor 定理: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 必一致连续.

2.3.4 假设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数, $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致上半连续定义为: $\forall\ \ve>0,\ \exists\ \del>0$, 当 $x',x''\in I$, $|x'-x''|<\del$ 时, $f(x')-f(x'')<\ve$. 试证: $f(x)$ 在 $I$ 上一致上半连续 $\lra f(x)$ 在 $I$ 上一致连续.

2.3.5 若函数 $f(x)$ 在 $D$ 上有界, 令 $$\beex \bea M_f(x_0,\del)&=\sup\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ m_f(x_0,\del)&=\inf\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ \eea \eeex$$ 证明: (1) 当 $\del\to 0^+$ 时 $M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)$ 的极限存在; (2) 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充要条件是: $$\bex \lim_{\del\to 0^+} [M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)]=0.\qwz{西北大学} \eex$$

2.3.6 $f(x)$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的函数, 满足条件: 对每一点 $x_0\in [a,b]$, 任取 $\ve>0$, 有 $\del>0$, 对于一切 $x\in [a,b]\cap (x_0-\del,x_0+\del)$ 有 $f(x)<f(x_0)+\ve$. (1) 证明 $f(x)$ 有最大值; (2) 举例说明 $f(x)$ 未必有下界. (北京师范大学)

2.4.1 设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上满足 $$\bex f(2x)=f(x),\quad \vlmp{x}f(x)=A. \eex$$ 证明: $f(x)\equiv A,\ x\in (0,+\infty)$. (天津大学, 湖北大学)

2.4.2 试用推归法, 重新证明例 2.4.3 与例 2.4.4.

2.4.3 证明: 在 $\bbR$ 上满足方程 $$\bex f(x+y)=f(x)+f(y)\quad (\forall\ x,y\in\bbR) \eex$$ 的唯一单调函数是 $f(x)=ax$ (其中 $a$ 为常数).

2.4.4 证明: 若 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, 则如下三条件等价: (1) $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续; (2) $f(x)$ 在 $\bbR$ 上连续; (3) $\exists\ \del>0,\ f(x)$ 在 $(-\del,\del)$ 上有界.

2.4.5 证明: 若 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上连续, 对任意 $x,y\in\bbR$, 有 $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$, 则 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上可微. (东北师范大学)

2.4.6 证明: 当 $x>0$ 时满足方程 $$\bex f(xy)=f(x)f(y)\quad\sex{\forall\ x,y>0} \eex$$ 的唯一不恒等于 $0$ 的连续函数是 $f(x)=x^a$ ($a$ 为常数).

2.4.7 求在 $\bbR$ 上满足方程 $$\bex f(xy)=f(x)f(y),\quad\sex{\forall\ x,y\in\bbR} \eex$$ 的一切连续函数, 并证明不连续函数 $f(x)=\sgn x$, 在 $\bbR$ 上也处处满足方程.

2.4.8 设函数 $f(x),g(x)$ 在 $\bbR$ 上连续有界, 满足方程组 $$\bee\label{2.4.8:eq1} \left.\ba{ll}f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),\\ g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\ea\right.\ (\forall\ x,y\in\bbR) \eee$$ 及 $f(0)=1$, $g(0)=0$. 证明: $f(x)=\cos ax$, $g(x)=\pm \sin ax$ (其中 $a$ 为常数).

2.4.9 设 $f(x)$ 为恒不等于零, 在 $x=0$ 处可导的函数, 在 $\bbR$ 上满足方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ ($\forall\ x,y\in\bbR$). 试证 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上处处可导, 并求 $f(x)$.

2.4.10 证明: 满足方程 $\dps{f(x+y)=\f{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}}$ ($\forall\ x,y\in\bbR$) 的唯一可导函数是 $f(x)=\tan ax$ (其中 $a$ 为常数).

2.4.11 设 $f(x)$ 在任何有界区间上可积, 且在 $\bbR$ 上处处满足方程 $$\bex f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\sex{\forall\ x,y\in \bbR}. \eex$$ 试证: $f(x)=ax$ (其中 $a$ 为常数).