均匀权重向量集合的生成

在多目标进化算法中，权重向量的生成非常重要。

Das I, Dennis J E. Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems[J]. SIAM Journal on Optimization, 1998, 8(3): 631-657.

上述这篇文章提出了生成空间中均匀分布的权重向量的方法。该方法对mmm维空间进行采样，得到CH+m−1m−1" role="presentation" style="position: relative;">Cm−1H+m−1CH+m−1m−1C_{H+m-1}^{m-1}个在空间中均匀分布的权重向量，其中，H>0H>0H > 0为每个目标方向上的采样个数，其采样步长为δ=1/Hδ=1/H\delta = 1 / H。

当m=3,H=4m=3,H=4m = 3, H = 4时，生成的均匀分布的权重向量有C3−14+3−1=15C4+3−13−1=15C_{4+3-1}^{3-1} = 15个，如下所示：

以上问题可以抽象为：

给定mmm和H，输出均匀分布的权重向量集合。

集合A = {0,1/H,2/H,...,1}" role="presentation" style="position: relative;">{0,1/H,2/H,...,1}{0,1/H,2/H,...,1}\{0, 1/H, 2/H, ..., 1\}，从集合A里面选择mmm个数，使得这m" role="presentation" style="position: relative;">mmm个数的和为1，即a1+a2+...am=1a1+a2+...am=1a_1 + a_2 + ... a_m = 1。

对这个问题进行分析：

可以转化为从集合B = {0, 1, 2, …, H}中选择mmm个数，使得这m" role="presentation" style="position: relative;">mmm个数的和为H，即b1+b2+...bm=Hb1+b2+...bm=Hb_1 + b_2 + ... b_m = H;

这个问题可以进一步转化为从集合C = {1, 2, 3, …, H + 1}中选择mmm个数，使得这m" role="presentation" style="position: relative;">mmm个数的和为(H + m)，cn=bn+1cn=bn+1c_n = b_n +1，即c1+c2+...cm=H+mc1+c2+...cm=H+mc_1 + c_2 + ... c_m = H + m;

这时候就可以分析为什么权重向量个数是Cm−1H+m−1CH+m−1m−1C_{H+m-1}^{m-1}：

和为(H+m)(H+m)(H + m)可以看作有(H+m)(H+m)(H + m)个球排成一排，这(H+m)(H+m)(H + m)个球排成的一排一共有(H+m−1)(H+m−1)(H + m - 1)个空隙，选mmm个数可以用插板法做，选择其中的m−1" role="presentation" style="position: relative;">m−1m−1m - 1个空隙进行插板，分为mmm份。所以总的个数是CH+m−1m−1" role="presentation" style="position: relative;">Cm−1H+m−1CH+m−1m−1C_{H+m-1}^{m-1}。根据每一份的个数得到c1,c2,...cmc1,c2,...cmc_1, c_2, ... c_m。最后，an=(cn−1)/Han=(cn−1)/Ha_n = (c_n - 1) / H。

如何实现：

用一个排列表示，这个排列有m−1m−1m - 1个1，表示有插板，有(H+m−1−(m−1))(H+m−1−(m−1))(H + m - 1 - (m - 1))，即HHH个0，表示没有插板。有多少种不同的排列就有多少个不同的权重向量。根据1和0的位置，得到c1,c2,...cm" role="presentation" style="position: relative;">c1,c2,...cmc1,c2,...cmc_1, c_2, ... c_m，进而得到a1,a2,...ama1,a2,...ama_1, a_2, ... a_m。

实现代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <fstream>
using namespace std;
int main()
{int m; // the number of objectivesdouble stepsize;double H; // H = 1 / stepsizecout << "Please input the number of objectives (m): \n";cin >> m;cout << "Please input the stepsize (1/H): \n";cin >> stepsize;H = 1 / stepsize;cout << "H = " << H << endl;vector<int> sequence;for (unsigned int i = 0; i < H; i++) // the number of zero is (H){sequence.push_back(0);}for (unsigned int i = 0; i < (m - 1); i++) // the number of 1 is (H + m - 1 - (m - 1)){sequence.push_back(1);}vector< vector<double> > ws;do {int s = -1;vector<double> weight;for (unsigned int i = 0; i < (H + m - 1); i++){if (sequence[i] == 1){double w = i - s;w = (w - 1) / H;s = i;weight.push_back(w);}}double w = H + m - 1 - s;w = (w - 1) / H;weight.push_back(w);ws.push_back(weight);} while (next_permutation(sequence.begin(), sequence.end()));ofstream outfile("weight.txt");for (unsigned int i = 0; i < ws.size(); i++){for (unsigned int j = 0; j < ws[i].size(); j++){outfile << ws[i][j] << " ";}outfile << "\n";}return 0;
}

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