线性反馈移位寄存器(linear feedback shift register， LFSR)是指，给定前一状态的输出，将该输出的线性函数再用作输入的移位寄存器。异或运算是最常见的单比特线性函数：对寄存器的某些位进行异或操作后作为输入，再对寄存器中的各比特进行整体移位。

线性反馈移位寄存器(LFSR)是一个产生二进制位序列的机制。这个寄存器由一个初始化矢量设置的一系列信元组成，最常见的是，密钥。这个寄存器的行为被一个时钟调节。在每个定时时刻，这个寄存器信元的内容被移动到一个正确的位置，这个排外的或这个信元子集内的内容被放在最左边的信元中。输出的一个位通常来自整个更新程序。LFSRs的应用包括产生伪随机数字，伪噪声序列，快速数字计算器和灰数序列。LFSRs软件和硬件的执行是相同的。

一个n阶的LFSR由n个触发器和若干个异或门组成。在实际应用当中，主要用到两种类型的LFSR，即异或门外接线性反馈移位寄存器(IE型LFSR，图1)和异或门内接线性反馈移位寄存器(EE型LFSR，图2)。其中g0 g1 g2 gn为’0’或’1’， Q1 Q2 Q3 Qn为LFSR的输出，M(x)是输入的码字多项式，如M(x)=x4+ x1+ 1，表示输入端的输入顺序为11001，同样，LFSR的结构也可以表示为多项式G(x)，称为生成多项式：

G(x)= gn*xn+ …+g1*x1+ g0；

以EE型LFSR为例来分析LFSR的工作原理以应用

以n = 3 来做个例子，具体的电路图如图3所示：

假设开始的时候(D2，D1，D0 ) = (0，0，1)，那么每过一个时钟周期会进行跳变一次，可以看到具体的跳变如图4所示：

然后我们可以看到这个计数器循环起来了，无论进入那样一个状态除了0之外，都可以循环着回来，其实这里就相当于了一个3bit的伪随机数，很有意思，不是所有的多项式都有这个特性，我们现在在从数学上面来看看这个问题，其实最上面的电路是可以看成是一个除法电路，在Galois域的一个除法电路。现在假设的是R(x)是寄存器中剩余的数据，M(x)是输入的码字多项式，然后数学公式可以表示成：

然后分别计算出了Ｍ(ｘ)的各种情况，

对于这个部分的计算我开始走进了误区，因为开始我把这的除法当作二进制除法来算了，所以一直没得到正确的结果，后来我明白了这的除法是模二的除法，在LFSR的结果中，多项式中的“+”都是模2加，就是异或运算，所以是没有进位的概念；同样，这里的除法秀的也是模2除法，即除法过程中用到的减法是模2减法，是不会产生加法进位和减法借位的运算，所以在进行模2除法时，只要部分余数首位为1，便可上商1，否则上商0，然后按照模2减法求得余数，当被除数被除完时，最后得到比除数少一位的余数。

这里用一个例子说明一下，比如M(x)=x7时，R(x)=1;模2的计算公式如下：

所以这里一定要区别模2和二进制数之间的运算的区别。

M(x)和R(x)到底是什么意义呢？

比如M(x)=1时，R(x)=1，指的就是当M(x)输入一个1时，这时的R(x)为1，即寄存器剩余的数为001，即Q1=1，Q2=0，Q3=0。

又M(x)=x时，R(x)=x，指的就是当M(x)顺序输入1，0时，这时的R(x)为x，即寄存器剩余的数为010，即Q1=0，Q2=1，Q3=0。

同理，可以知道，当M(x)=x6时，R(x)=x2+1，指的就是当M(x)顺序输入1，0，0，0，0，0，0时，这时的R(x)为x2+1，即寄存器剩余的数为010，即Q1=1，Q2=0，Q3=1。

可以看出，当第一个时钟时输入端输入一个1时，以后保持输入端为0，则随着时钟的到来，输入码字多项式就是按照1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，…，xn这样的顺序发展着，观察前六个输入的R(x)分别对应的输出为：001，010，100，011，101，111，101，111，刚好为除去000的其他七个状态，当M(x)为x7时，输出又回来001，所以输出一直这样循环下去，因此LFSR可以用来BIST的伪随机测试码产生器。

线性反馈移位寄存器的实现

1、写出n阶线性反馈移位寄存器的实现过程

2、假设一个GF(2)上的5阶线性反馈移位寄存器的反馈函数为

f(x1，x2，x3，x4，x5)=x1+x5

初始状态为10011，试写出该线性反馈移位寄存器的输出序列

程序：

#include《iostream》

#include《math.h》

using namespace std;

void GF(int a，int n)

{

int b;

for(int i=1;i《32;i++)

{

cout《《(a&1);

b=a&1^((a》》4)&1);

a=a》》1^(b《《4);

}

}

int main()

{

int a=0，b;

int n;

cout《《“请输入线性移位寄存器的阶数：”;

cin》》n;

cout《《“请输入初始状态：”;

for(int i=1;i《=n;i++)

{

cin》》b;

a=a^(b《《(i-1));

}

cout《《“输出序列为：”;

GF(a，n);

cout《《endl;

return 0;

}

运行结果：