1.定义

假设系统有一状态集E=0,1,2...KE={0,1,2...K}E=0,1,2...K,令N(t)N(t)N(t)表示系统在ttt时刻所处的状态，则有以下结论：

pi,i+1(Δt)=P(N(t+Δt)=i+1∣N(t)=i)=λiΔt+o(Δt)p_{i,i+1}(\Delta t)=P(N(t+\Delta t)=i+1|N(t)=i)=\lambda_i\Delta t+o(\Delta t)pi,i+1(Δt)=P(N(t+Δt)=i+1∣N(t)=i)=λiΔt+o(Δt)
pi,i−1(Δt)=P(N(t+Δt)=i−1∣N(t)=i)=μiΔt+o(Δt)p_{i,i-1}(\Delta t)=P(N(t+\Delta t)=i-1|N(t)=i)=\mu_i\Delta t+o(\Delta t)pi,i−1(Δt)=P(N(t+Δt)=i−1∣N(t)=i)=μiΔt+o(Δt)
pi,j(Δt)=P(N(t+Δt)=j∣N(t)=i)=o(Δt)∣i−j∣>2p_{i,j}(\Delta t)=P(N(t+\Delta t)=j|N(t)=i)=o(\Delta t) |i-j|>2pi,j(Δt)=P(N(t+Δt)=j∣N(t)=i)=o(Δt)∣i−j∣>2

其中，λi>0,i=0,1,2.....K−1,μi>0,i=1,2,3....K\lambda_i>0,i=0,1,2.....K-1,\mu_i>0,i=1,2,3....Kλi>0,i=0,1,2.....K−1,μi>0,i=1,2,3....K,均为常数，则称随机过程N(t),t>0{N(t),t>0}N(t),t>0为有限状态E=0,1,2...KE={0,1,2...K}E=0,1,2...K上的生灭过程。生灭过程是一个特殊的马尔科夫过程。

2.平稳分布

令pj(t)=P(N(t)=j),j∈Ep_j(t)=P(N(t)=j),j\in Epj(t)=P(N(t)=j),j∈E,那么由全概率公式，有：
pj(t)=pj(t)[1−λiΔt−μiΔt−o(Δt)]+pj−1(t)[λiΔt+o(Δt)]+pj+1(t)[μiΔt+o(Δt)]+∑i−j≥2pi(t)o(Δt)p_j(t)=p_j(t)[1-\lambda_i\Delta t-\mu_i\Delta t-o(\Delta t)]+p_{j-1}(t)[\lambda_i\Delta t+o(\Delta t)]+p_{j+1}(t)[\mu_i\Delta t+o(\Delta t)]+\sum_{i-j\ge 2} p_i(t)o(\Delta t)pj(t)=pj(t)[1−λiΔt−μiΔt−o(Δt)]+pj−1(t)[λiΔt+o(Δt)]+pj+1(t)[μiΔt+o(Δt)]+∑i−j≥2pi(t)o(Δt)
=pj(t)[1−λiΔt−μiΔt]+pj−1(t)[λiΔt]+pj+1(t)[μiΔt]=p_j(t)[1-\lambda_i\Delta t-\mu_i\Delta t]+p_{j-1}(t)[\lambda_i\Delta t]+p_{j+1}(t)[\mu_i\Delta t]=pj(t)[1−λiΔt−μiΔt]+pj−1(t)[λiΔt]+pj+1(t)[μiΔt]
令pj(t)=lim⁡t→+∞pj(t)p_j(t)=\lim_{t\rightarrow+\infty}p_j(t)pj(t)=limt→+∞pj(t), {pj,j=0,1,....Kp_j,j=0,1,....Kpj,j=0,1,....K}存在，与初始条件无关，且pj>0,∑j=0j=Kpj=1p_j>0,\sum_{j=0}^{j=K}p_j=1pj>0,∑j=0j=Kpj=1,即{pj,j=0,1,....Kp_j,j=0,1,....Kpj,j=0,1,....K}为平稳分布。

3.性质

pjPj,j+1=pj+1Pj+1,jp_jP_{j,j+1}=p_{j+1}P_{j+1,j}pjPj,j+1=pj+1Pj+1,j
求各个状态的概率
结合∑j=0j=Kpj=1\sum_{j=0}^{j=K}p_j=1∑j=0j=Kpj=1可知，pj=λ0λ1...λK−1μ1μ2...μKp0,p_j=\frac{\lambda_0\lambda_1...\lambda_{K-1}}{\mu_1\mu_2...\mu_K}p_0,pj=μ1μ2...μKλ0λ1...λK−1p0,其中
p0=11+∑i=0i=Kλ0λ1...λi−1μ1μ2...μip_0=\frac{1}{1+\sum_{i=0}^{i=K}\frac{\lambda_0\lambda_1...\lambda_{i-1}}{\mu_1\mu_2...\mu_i}}p0=1+∑i=0i=Kμ1μ2...μiλ0λ1...λi−11

4.例子

2-state birth-death process

{p0+p1=1p0α=p1β⇒p0=βα+β,p1=αα+β\begin{cases} & p_0+p_1=1\\ & p_0\alpha=p_1\beta \end{cases}\Rightarrow p_0=\frac{\beta}{\alpha+\beta},p_1=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}{p0+p1=1p0α=p1β⇒p0=α+ββ,p1=α+βα
例二

M是生成矩阵，将对应的向量相乘，我们可以得到
p0∗−Nα+p1β=0,p0∗Nα−p1[β+(N−1)α]+p32β=0p_0*-N\alpha+p_1\beta=0,p_0*N\alpha-p_1[\beta+(N-1)\alpha]+p_32\beta=0p0∗−Nα+p1β=0,p0∗Nα−p1[β+(N−1)α]+p32β=0…
每个矩阵都是对应状态的平衡方程。

平衡方程。

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Birth-Death process 生灭过程

1.定义

2.平稳分布

3.性质

4.例子

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