产生拉普拉斯分布随机数--C语言实现

1、产生随机变量的组合法

将分布函数 $F(x)$ 分解为若干个较简单的子分布函数的线性组合

$F(x)=\sum_{i=1}^{K}{p_iF_i(x)}$

其中 $p_i > 0 (\forall i)$ 且 $\sum_{i=1}^{K}{p_i} = 1$ ， $F_i(x)$ 是分布函数。

定理：若随机变量 $\xi \sim \{ {p_i}\}$ ，即 $P(\xi=i)=p$ ,并且 $x \sim F_{\xi}(x)$ ,取 $z=x$ ;

$z \sim F(x) = \sum_{i=1}^{K}{p_iF_i(x)}$

证明 $z$ 的分布函数为

$P(z\le t)=P((z \le t) \cap \bigcup_{i=1}^{K}(\xi = i)) = \sum_{i=1}{K}P(z \le t, \xi = i)=\sum_{i=1}^{K}{P(\xi=i)P(z \le t | \xi = i)}=\sum_{i=1}^{K}{p_i F_i(t)} =F(t)$

定理证毕。

根据此定义，我们可以给出产生随机数的组合和算法如下：

（1）产生一个正随机数 $\xi$ 使得 $P(\xi=i)=p_i (i=1,2,...,K)$ ；

（2）在 $\xi =i$ 时，产生具有分布函数 $F_i(x)$ 的随机变量x。

在该算法中，首先以概率 $p_i$ 选择子分布函数 $F_i(x)$ ，然后取 $F_i(x)$ 的随机数作为 $F(x)$ 的随机数。

2、产生拉普拉斯分布随机数的方法

拉普拉斯分布的概率密度函数为

$f(x) =\frac{1}{2\beta}e^{-\frac{\left | {x-\mu}\right |}{\beta}}$

令拉普拉斯的均值为 $\mu$ ，方差为 $2\beta^{2}$ ,，拉普拉斯分布也称为双指数分布。

根据上述的组合算法，产生拉普拉斯分布随机数的方法为

（1）产生均匀分布随机数 $u_1$ 和 $u_2$ ，即 $u_1,u_2 \sim U(0,1)$

（2）计算 $x=\left\{\begin{matrix} -\beta ln(1-u_2) & u_1 \le 0.5\\ \beta ln(u_2) & u_1>0.5 \end{matrix}\right.$

3、C语言代码实现

3.1 头文件laplace.h

#pragma once
#ifndef LAPLACE_H_
#define LAPLACE_H_/*
函数功能：    产生laplace分布的随机数
输入参数说明：
beta        拉普拉斯分布参数
seed        长整型指针变量， *seed 为伪随机数的种子
*/
double laplace_data(double beta, long int * seed);#endif // !LAPLACE_H_

3.2 函数文件laplace.c

#include "laplace.h"#include <stdint.h>
#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "uniform.h"
#include <math.h>/*
函数功能：    产生laplace分布的随机数
输入参数说明：
beta        拉普拉斯分布参数
seed        长整型指针变量， *seed 为伪随机数的种子
*/
double laplace_data(double beta, long int * seed)
{double u1,u2, x;u1 = uniform_data(0.0, 1.0, seed);u2 = uniform_data(0.0, 1.0, seed);if (u1 <= 0.5){x = -beta * log(1.0 - u2);}else{x = -beta * log(u2);}return x;
}

3.3 主程序main.c

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include "uniform.h"
#include "laplace.h"int main()
{// 产生50个指数分布的随机数int i, j;long int s;double x, beta;beta = 2.0;  s = 13579;for (i = 0; i < 10; i++){for (j = 0; j < 5; j++){x = laplace_data(beta,  &s);printf("%13.7f",x);}printf("\n");}   getchar();      // 此行代码是为了保持输出窗口，按任意按键关闭弹窗return 0;
}

程序中uniform.h和uniform.c的代码见文章

产生（a,b）区间上均匀分布的随机数 C语言实现_jk99528878769的博客-CSDN博客使用C语言实现在设定区间内产生一个均匀分布的随机数https://blog.csdn.net/jk99528878769/article/details/124435414?spm=1001.2014.3001.5502

3.4 运行输出结果

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