简介

Strassen矩阵乘法是典型的分而治之算法。我们已经见过诸如归并排序，Karatsuba大数乘法的分而治之的算法。让我们再次领略一下分而治之的含义。

与动态编程的“分散”得到子解决方案是为了得到最终的解决方案不同。在这里，我们更多的是谈论如何把子方案拼接起来。一般问题的子问题的解决方案是平等的，以某种方式定义它们的合并。

归并排序算法就是一个典型的例子。归并排序中，有两个有序表，想要把合并为一个有序表。当然，归并排序中最棘手的问题就是合并本身。通过2个有序表A和B，把A，B中的每个子序列合并。说的有点偏离话题了，但是这就是归并排序的弱点，尽管归并排序最坏的时间复杂度是O(n,log(n))，快速排序通常是首选，因为它没有合并。快速排序只是连接两个子数组。注意，在快序排序中子序列的长度是一般情况下是不同的。尽管它的最坏的时间复杂度是O(n ^ 2)，通常优于归并排序。

上面这个简单的例子向我们说明了，有时候合并两个子问题的解决方案实际上并不是一项简单的任务。因此在使用任何分而治之方法时，必须小心。

历史

施特拉森，出生于1936年，德国数学家。他有关概率的作品很知名，但是在计算机科学和算法领域中也很知名，因为他的矩阵算法。他的矩阵算法仍然是优于一般矩阵乘法算法主要方法。

1969，拉森第一次公开了这个算法并证明了n ^ 3算法并不是最优的。实际上拉森给出的解决方案只是稍微好一些。但他的贡献是巨大的，因为这引发了更多的关于矩阵乘法的研究，产生了更快的方法，即Coppersmith-Winograd算法，时间复杂度为O(n ^ 2,3737)。

综述

通常情况下，两个矩阵A[NxN]和B[NxN]相乘的算法是相当简单的。尽管这要比两个数相乘难一些，尽管它是不可交换的，但仍然非常简单,，只是算起来缓慢。

我们先来定义一个矩阵 A[NxN]。 当我们谈及NxN的矩阵时，通常认为是一个N行乘N列的正方形网格。在每一个A[i][j]中填入值。

当然，作为开发者，我们可以把矩阵作为二维数组。

// PHP two-dimensional array

$a = array(

0 => array($v1, $v2, $v3, $v4),

1 => array($v5, $v6, $v7, $v8),

2 => array($v9, $v10, $v11, $v12),

);

不要忘记NxN矩阵仅是一个矩阵的例子。同样我们可以建立其他任何大小的矩阵NxM(N < > M)。

然而矩阵相乘中，矩阵的大小是至关重要。为什么呢?

正如我上面所说的矩阵相乘与数字相乘不同。首先，矩阵乘法中两个矩阵是不能交换的。

其次，是矩阵A乘矩阵B的方式

这仅适用于 NxN的矩阵，看一下矩形矩阵相乘的问题。事实上，这是不可能发生，除非矩阵A的第二维度不相等矩阵B的第一个维度。

希望我们现在谈的是平方矩阵都有完全相同的维度。

我们已经知道两个平方矩阵(具有相同维度NxN)如何相乘了，现在让我们评估时间复杂度的通用算法。

仅当如下情况，AB = C：

C[i][j] = sum(A[i][k] * B[k][j]) for k = 0 .. n

有n ^ 3的操作。让我们试着找出一个分而治之的方法。

事实上，在矩阵下，这并不困难，因为我们知道矩阵可以分为较小的子矩阵。

得到如下结果：

再一次，同样的复杂性——我们得到了8个产出和4个和。

当然，为了获得更快的解决方案，我们看一下1969年Strassen所做的。他定义了P1,P2,P3,P4,P5,P6和P7如下图。

复杂度

Strassen的算法比一般矩阵乘法算法稍微快一些。一般的算法的时间复杂度是O(n ^ 3)，而Strassen的算法的复杂度是O(n ^ 2.80)。

你可以看到在下面的图表速度只是稍微快一些，即使对于大的n。

应用

尽管比计算机科学，这个算法似乎更接近纯数学。无论在哪使用NxN的数组，我们都可以从矩阵乘法中受益。

另一方面Strassen的算法并不比一般的n ^ 3矩阵乘法算法快多少。维度对于小n(通常是n < 45)的问题，一般算法是更好的选择。然而从图中可以看出，当n > 100以上是，差别还是非常大的。

当我们谈论邻接矩阵图| V | = n时，通常使用NxN数组，一些图表的算法实际上取决于矩阵乘法。

作者：Stoimen