P3964 [TJOI2013]松鼠聚会

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https://www.luogu.org/problemnew/show/P3964

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随机跳题挑战第03次，T2

给定nnn个点的坐标，求出其中一个点使得它离其它点的切比雪夫距离最短

n≤105n\leq 10^5n≤105

SolutionSolutionSolution

记得在洛谷日报里看过这题，没过多久就切了

首先直接暴力搞复杂度显然是O(n2)O(n^2)O(n2)不可做

考虑将切比雪夫距离吊成曼哈顿距离

非众所周知，distqbxf([x.x,x.y],[y.x,y.y])=dismhd([x.x+x.y2,x.x−x.y2],[y.x+y.y2,y.x−y.y2])dist_{qbxf}([x.x,x.y],[y.x,y.y])=dis_{mhd}([\frac{x.x+x.y}2,\frac{x.x-x.y}2],[\frac{y.x+y.y}2,\frac{y.x-y.y}2])distqbxf([x.x,x.y],[y.x,y.y])=dismhd([2x.x+x.y,2x.x−x.y],[2y.x+y.y,2y.x−y.y])

有啥用呢？

我们枚举一个点pip_ipi，求转化后坐标它的曼哈顿距离等价于转换前求它的切比雪夫距离

即ansi=∑j=1ndis(i,j)ans_i=\sum_{j=1}^ndis(i,j)ansi=∑j=1ndis(i,j)
=∑j=1n(∣xi−xj∣+∣yi−yj∣)=\sum_{j=1}^n(|x_i-x_j|+|y_i-y_j|)=∑j=1n(∣xi−xj∣+∣yi−yj∣)
=∑j=1n∣xi−xj∣+∑j=1n∣yi−yj∣=\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|+\sum_{j=1}^n|y_i-y_j|=∑j=1n∣xi−xj∣+∑j=1n∣yi−yj∣
=(∣x1−xi∣+∣x2−xi∣+…∣xn−xi∣)+(∣y1−yi∣+∣y2−yi∣+…∣yn−yi∣)=(|x_1-x_i|+|x_2-x_i|+…|x_n-x_i|)+(|y_1-y_i|+|y_2-y_i|+…|y_n-y_i|)=(∣x1−xi∣+∣x2−xi∣+…∣xn−xi∣)+(∣y1−yi∣+∣y2−yi∣+…∣yn−yi∣)

似乎有点前缀和的感觉2333

但这是绝对值，不能直接拆括号啊？

注意到，我们是将横纵坐标与每个点的横纵坐标做绝对值，所以这个顺序对答案是没有影响的

因此，我们可以对xxx和yyy排序

这样有什么用呢？

我们就可以知道在xxx，有多少个数比xix_ixi大，这些大与xix_ixi差得绝对值都是大的减xix_ixi，较小的xxx与xix_ixi的差的绝对值即为xix_ixi减去较小的xxx，用式子表达即为

∑j=1n∣xi−xj∣\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|∑j=1n∣xi−xj∣
=(∣x1−xi∣+∣x2−xi∣+…∣xn−xi∣)=(|x_1-x_i|+|x_2-x_i|+…|x_n-x_i|)=(∣x1−xi∣+∣x2−xi∣+…∣xn−xi∣)
注意到正负的分界点恰好是xrankxx_{rank_x}xrankx，rankxrank_xrankx是xix_ixi的排名
根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”所以原式等价于：
(xi−x1)+(xi−x2)+…(xrankx+1−xi)+…(xrankx+2−xi)+…(xn−xi)(x_i-x_1)+(x_i-x_2)+…(x_{rank_x+1}-x_i)+…(x_{rank_x+2}-x_i)+…(x_n-x_i)(xi−x1)+(xi−x2)+…(xrankx+1−xi)+…(xrankx+2−xi)+…(xn−xi)
去括号就变成了
=rankx×xi−∑i=1rankx+∑j=rankx+1nxj−(n−rankx)×xi=rank_x\times x_i-\sum_{i=1}^{rank_x}+\sum_{j=rank_x+1}^n x_j-(n-rank_x)\times x_i=rankx×xi−∑i=1rankx+∑j=rankx+1nxj−(n−rankx)×xi

再去一波括号得到最终公式（sxi=∑j=1ixisx_i=\sum_{j=1}^i x_isxi=∑j=1ixi）
∑j=1n∣xi−xj∣=2(rankxxi−sx[rankx])+sx[n]−n×xi\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|=2(rank_xx_i-sx[rank_x])+sx[n]-n\times x_i∑j=1n∣xi−xj∣=2(rankxxi−sx[rankx])+sx[n]−n×xi

所以我们只需一个二分一下rankxrank_xrankx就行啦

yyy同理

总时间复杂度：O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

CodeCodeCode

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;int n;
long long x[100001],y[100001],sx[100001],sy[100001],ylx[100001],yly[100001];
long long ans=4611686018427387903ll,sumx,sumy;
inline long long read()
{char c;int f=0,d=1;while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;return d*f;
}
signed main()
{n=read();for(register int i=1,a,b;i<=n;i++){a=read();b=read();ylx[i]=x[i]=a+b;yly[i]=y[i]=a-b;//xyl=x原来2333}sort(x+1,x+1+n);sort(y+1,y+1+n);for(register int i=1;i<=n;i++) sx[i]=sx[i-1]+x[i],sy[i]=sy[i-1]+y[i];for(register int i=1;i<=n;i++){int rank_x=lower_bound(x+1,x+1+n,ylx[i])-x,rank_y=lower_bound(y+1,y+1+n,yly[i])-y;sumx=2*(rank_x*ylx[i]-sx[rank_x])+sx[n]-n*ylx[i];sumy=2*(rank_y*yly[i]-sy[rank_y])+sy[n]-n*yly[i];ans=min(ans,(long long)sumx+sumy);}printf("%lld\n",ans>>1LL);
}