关于正交变换和正交矩阵一点学习笔记 :
定义 : 设 V 是一个欧氏空间 , А是 V 上的线形变换 , 如果对于任何向量 x,y, 变换А恒能使的下列等式成立则说А是 V 上的正交变换。
    定理 : А是欧氏空间 V 上的线形变换 , 下面满足任意条件都是А成为正交变换的充要条件。 1. А使得向量长度保持不变,机对于任何x ∈ V 有 ( А (x), А (x))=(x,x)
    2. 任意一组标准正交基经过 А变换后的 基像仍是一组标准正交基。
    3. А在任意一组标准正交基下的矩阵А满足ATA=AAT=I或A-1 = AT
关于应用方面两类常见的正交变换:
1.     平面上的旋转变换
按照平面中的坐标系经过α度旋转得到如图所示的变换：
   А (i) = cos α*I – sinα*j
{  А (j) = sin α*j + cosα*I
А (I,j) = (I,j)( cos α,sinα )
(-sin α,cosα)                                            y               y’      x
                   
 j     I     α
| А | =cos α 2  + sin α 2   = 1
                                                                                                                             icosα
x’
                                                                                                                -jsinα
 
 
2. 反射变换                                                                                                 j
 
А (i) = I’ = I + 0*j                                         i
А (j) = j’ = 0*I+(-1)j
                                                                                                                          
 
А (I,j) = (I,j)(1, 0)
                  (0,-1)
下面将其推广到 n 维空间中
初等旋转变换 :n 维 Euclid 空间 V 中取一组标准正交基 e1,e2…en
          1
            .
1
 cos α … … … sinα
Rij =           .
                 .
                -sin α… … …   cosα
                                         1
                                               
此时确定的变换为初等旋转变换也叫做 Givens 变换 , 具备两个性质①行列式值为 1
②是正交变换 Rij 为正交阵
 
①可以通过下面证明 : 自己推导令 C = cos α, S = sinα
则可以化成
          1
            .
1
 C … … … S
Rij =           .
                 .
                -S … … …   C
                                  1
可以通过分解消元上下角可以消去
| Rij | = 1*    C … … … S
1
 .
           -S … … …   C
                                
再通过内部消去分解可以得到
| Rij | = C    S              = C2+ S2 = cosα2  + sinα2=1
        -S    C
 
 
 
② RijTRij =   1                             1
               .                              .
1                         1
      C … … … -S               C … … … S
                    .                             .
                    .                             .
                    S  … … …   C               -S … … …C
                                     1                          1
 
             1
            .
1
 C2+S2 … … … C2+S2
Rij =           .                          = I
                 .
                C2+S2 … … …  C2+S2
                                     1
 
 
还有一个镜象变换图片太难画不搞了 , 用途可以用于 n 维空间中将图片进行旋转。提供简单计算公式。后面扫描图片算了画是画死了。

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