FM，FFM,DeepFM

FM(Factorization Machines)因子分解机
主要适用的场景就是高维稀疏特征环境下，在确定输入后，它也近似于支持向量机和多项式回归。
其主要想法是，遍历所有特征，进行特征的组合，如下图，一阶特征是6个，二阶特征就有15个。

我们用如下的公式进行计算，但考虑到两个问题，一个是如上图所示，类别特征进行one-hot后会变的特征空间变大样本就变得稀疏，其次当特征组合后，新特征的样本量会变的更稀疏的问题。

利用上式求解，使用梯度下降，由于样本量的稀疏，参数很难收敛。其次，当d=2时，由于引入特征组合也就会增添n(n-1)/2个参数w。
FM通过对w进行分解，一是可以减少模型参数，二是可以挖掘特征组合之间的相关性（个人理解）

这时参数变成了nk个，

进一步化简：

计算复杂度变成了O(nk)

FM的优点：

可以在非常稀疏的数据中进行合理的参数估计
FM模型的时间复杂度是线性的
FM是一个通用模型，它可以用于任何特征为实值的情况

python实现代码：


import numpy as np
np.random.seed(0)
import randomdef sigmoid(z):return 1.0 / (1.0 + np.exp(-z))def sigmoid_prime(z):"""sigmoid函数对z求一阶偏导:param z::return:"""return sigmoid(z) * (1 - sigmoid(z))class QuadraticCost(object):@staticmethoddef fn(a, y):"""平方误差损失函数:param a: 预测值:param y: 真实值:return:"""return 0.5 * np.linalg.norm(a - y) ** 2@staticmethoddef delta(z, a, y):"""损失函数对z求偏导:param z: x的线性函数:param a::param y::return:"""return (a - y) * sigmoid_prime(z)class FM(object):def __init__(self, train, valid, k, eta, maxecho, r2, cost=QuadraticCost):"""构造函数:param train: 训练数据:param valid: 验证数据:param k: 矩阵V的第2维:param eta: 固定学习率:param maxecho: 最多迭代次数:param r2: R2小于该值后可停止迭代:param cost: 损失函数"""self.train_x = train[:, :-1]self.train_y = train[:, -1:]self.valid_x = valid[:, :-1]self.valid_y = valid[:, -1:]self.var_y = np.var(self.valid_y)  # y的方差，在每轮迭代后计算R2时要用到self.k = int(k)self.eta = float(eta)self.maxecho = maxechoself.r2 = r2self.cost = cost# 用正态分布随机初始化参数W和Vself.w0 = np.random.randn()self.w = np.random.randn(1, self.train_x.shape[1])self.v = np.random.randn(self.train_x.shape[1], self.k)def shuffle_data(self):"""每轮训练之前都随机打乱样本顺序:return:"""ids = list(range(len(self.train_x)))random.shuffle(ids)self.train_x = self.train_x[ids]self.train_y = self.train_y[ids]def predict(self, x):"""根据x求y:param x::return:"""z = self.w0 + np.dot(self.w, x.T).T + np.longlong(np.sum((np.dot(x, self.v) ** 2 - np.dot(x ** 2, self.v ** 2)),axis=1).reshape(len(x), 1)) / 2.0return z, sigmoid(z)def evaluate(self):"""在验证集上计算R2:return:"""_, y_hat = self.predict(self.valid_x)mse = np.sum((y_hat - self.valid_y) ** 2) / len(self.valid_y)r2 = 1.0 - mse / self.var_yprint ("r2={}".format(r2))return r2def update_mini_batch(self, x, y, eta):"""平方误差作为损失函数，梯度下降法更新参数:param x::param y::param eta: 学习率:return:"""batch = len(x)step = eta / batchz, y_hat = self.predict(x)y_diff = self.cost.delta(z, y_hat, y)self.w0 -= step * np.sum(y_diff)self.w -= step * np.dot(y_diff.T, x)delta_v = np.zeros(self.v.shape)for i in range(batch):xi = x[i:i + 1, :]  # mini_batch中的第i个样本。为保持shape不变，注意这里不能用x[i]delta_v += (np.outer(xi, np.dot(xi, self.v)) - xi.T ** 2 * self.v) * (y_diff[i])self.v -= step * delta_vdef train(self, mini_batch=100):"""采用批量梯度下降法训练模型:param mini_batch::return:"""for itr in range(self.maxecho):print ("iteration={}".format(itr))self.shuffle_data()n = len(self.train_x)for b in range(0, n, mini_batch):x = self.train_x[b:b + mini_batch]y = self.train_y[b:b + mini_batch]learn_rate = np.exp(-itr) * self.eta  # 学习率指数递减self.update_mini_batch(x, y, learn_rate)if self.evaluate() > self.r2:breakdef fake_data(sample, dim, k):"""构造假数据:param sample::param dim::param k::return:"""w0 = np.random.randn()w = np.random.randn(1, dim)v = np.random.randn(dim, int(k))x = np.random.randn(sample, dim)z = w0 + np.dot(w, x.T).T + np.longlong(np.sum((np.dot(x, v) ** 2 - np.dot(x ** 2, v ** 2)),axis=1).reshape(len(x), 1)) / 2.0y = sigmoid(z)data = np.concatenate((x, y), axis=1)return z, dataif __name__ == "__main__":dim = 9  # 特征的维度k = dim / 3sample = 100z, data = fake_data(sample, dim, k)train_size = int(0.7 * sample)valid_size = int(0.2 * sample)train = data[:train_size]  # 训练集valid = data[train_size:train_size + valid_size]  # 验证集test = data[train_size + valid_size:]  # 测试集test_z = z[train_size + valid_size:]eta = 0.01  # 初始学习率maxecho = 200r2 = 0.9  # 拟合系数r2的最小值fm = FM(train, valid, k, eta, maxecho, r2)fm.train(mini_batch=50)test_x = test[:, :-1]test_y = test[:, -1:]print ('z=', test_z)print ("y=", test_y)z_hat, y_hat = fm.predict(test_x)print ("z_hat=", z_hat)print ("y_hat=", y_hat)

FM的优点和缺点：
优点：解决稀疏数据下的特征组合问题，具有线性复杂度，一般的线性模型没有考虑特征间的关联，
训练集中不存在的特征组合，通过FM的隐向量也能得到该组合的权重，还有论文中提到，在某些特殊的输入下，相当于多项式核SVM。
缺点：针对高阶的特征组合，计算复杂度很大；对于类别特征类别特别多，依旧会产生特征稀疏的问题；每个特征都只有一个特征向量，与不同类型特征组合时，使用的是同一种特征，这从一方面来说是不合理的。比如，年龄城市，年龄性别，这两者组合年龄的特征向量都是不变的。考虑到这个因素，推出了FFM.

FFM：

FFM主要是改进了FM中的每个特征的隐向量，针对FM中一个特征只有一个隐向量，组合不合理，FFM将每个特征都构建（f-1）个向量，f是field的个数，FFM把相同性质的特征归于同一个field，同一个categorical特征经过One-Hot编码生成的数值特征都可以放到同一个field，包括用户性别、职业、品类偏好等。
FFM的优点：
主要是引入场的概念，进一步缩小了特征空间，一个是使得隐向量的学习更加合理，还有就是解决了one-hot类别特别多的问题。
缺点：依旧是无法解决高阶特征组合计算问题

DeepFM

先套用网上的图，deepFM是结合了FM和DNN两者实现一种模型。FM模型考虑计算复杂度等问题，很多时候最多使用到二阶特征组合，而更高阶则没有办法了，而DNN恰巧弥补了这一点，通过DNN提取高阶特征，最终将FM和DNN的结果进行组合。

首先第一层是一个嵌入层，FM和DNN共享嵌入层的输入。假设特征有m个，field为F,嵌入层嵌入维度为K,则经过嵌入层得到的,嵌入层的权重实际就是FM中的权重，得到的输出是每条数据的表示。
嵌入层维度：m*K
输出的维度是:F*K

         # modelself.embeddings = tf.nn.embedding_lookup(self.weights["feature_embeddings"],self.feat_index)  # None * F * K，得到每条数据，场以及场对应的嵌入feat_value = tf.reshape(self.feat_value, shape=[-1, self.field_size, 1])self.embeddings = tf.multiply(self.embeddings, feat_value)##得到嵌入层的表示，再乘以特征值，这是为了二次项准备

FM部分：（每条数据虽然有f个特征，但是很多特征因为都是同一个场，一个场里都只有一个值，所以真正有值的特征就是各个场的个数）
输入：F*K
根据公式计算一阶特征

# ---------- first order term ----------一次项self.y_first_order = tf.nn.embedding_lookup(self.weights["feature_bias"], self.feat_index) # None * F * 1，feature_bias是一次项权重系数self.y_first_order = tf.reduce_sum(tf.multiply(self.y_first_order, feat_value), 2)  # None * F，一次项里，场权重乘以特征self.y_first_order = tf.nn.dropout(self.y_first_order, self.dropout_keep_fm[0]) # None * F

输出维度：None*F
二阶特征

由于上述公式可以推导成：

代码中可以先计算好隐向量v和x的乘积，如下面代码所示：

            # ---------- second order term ---------------##求和再平方# sum_square partself.summed_features_emb = tf.reduce_sum(self.embeddings, 1)  # None * Kself.summed_features_emb_square = tf.square(self.summed_features_emb)  # None * K# square_sum part平方再求和self.squared_features_emb = tf.square(self.embeddings)self.squared_sum_features_emb = tf.reduce_sum(self.squared_features_emb, 1)  # None * K# second orderself.y_second_order = 0.5 * tf.subtract(self.summed_features_emb_square, self.squared_sum_features_emb)  # None * Kself.y_second_order = tf.nn.dropout(self.y_second_order, self.dropout_keep_fm[1])  # None * K

最后的输出维度：None*K
DNN部分：
将嵌入层的输入F*K，reshape成None*(F*K)
经过几层全连接，得到DNN部分的输出，输出维度，None*layer[-1]
最终的组合：

DeepFM优点：
实现了二阶和高阶特征组合；
FM和DNN共享feature_embedding，减少了参数的数量；
不需要人工提取特征；

缺点：
（目前不清楚）

推荐一个很不错的链接：https://blog.csdn.net/John_xyz/article/details/78933253
参考链接：
公式求导：https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/7897085.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/63267172
开源实现以及对应代码的讲解：
https://cloud.tencent.com/developer/article/1450677
https://github.com/ChenglongChen/tensorflow-DeepFM
DeepFM的改进：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/48057256

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