变截距面板数据模型

变截距面板数据模型理论介绍

混合效应模型

背景思想

回归公式可以忽略个体与时间变化的差异，因此所有的数据特征可以通过一个公式进行刻画。进行数据的大杂烩、乱炖。为什么采取这么直接粗暴的方式呢？因为每个品种的菜(个体与时间维度)都很少，每一个品种的菜都不能够做出完整一盘菜，只能将所有的菜杂七杂八的混合起来乱炖。乱炖虽说精度不高，可是总比没法处理要好很多。

模型假定

1.E(εit)=0E(\varepsilon_{it})=0E(εit​)=0;
2.var(ε)=σε为常数var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数var(ε)=σε​为常数；
3. εit与Xit不相关\varepsilon_{it}与X_{it}不相关εit​与Xit​不相关;

公式：

Yit=α+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\alpha + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T

估计方法展示

数据结构展示：

估计方法：

这个模型是将所有的数据(y,x1,x2,x3,x4)(y,x_1,x_2,x_3,x_4)(y,x1​,x2​,x3​,x4​)，直接导入公式Yit=α+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\alpha + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T进行回归，只能求出一组(β1,β2,..,βk)′(\beta_{1},\beta_{2},..,\beta_{k})'(β1​,β2​,..,βk​)′，意味着β\betaβ在不同个体、不同时点上都是同一组，它不会因为时间或个体而发生变动。

固定效应模型

背景思想

有一些影响因素A随着一些条件的改变而改变，但是这个因素A并未通过XXX观测变量纳入模型，比如说我们研究消费函数，C=α+βY+εC = \alpha + \beta Y + \varepsilonC=α+βY+ε, 这里的α\alphaα叫做自发消费，这个自发性消费是可能和个人特征、所处的社会文化、教育等未观测变量有关，换句话说，截距项 α\alphaα 和个体某些未观测到的特质有关，而不和YYY有关。α\alphaα和ε\varepsilonε都是代表了不可观测因素的影响，前者的影响因素是有趋势的(常数也是一种趋势)，后者的影响因素是无趋势的。更简单的理解就是，α\alphaα存在的意义就是为了使ε\varepsilonε拥有零均值。

• 当这个截距项与个体特征相关时，我们称为个体固定效应模型。
• 当这个截距项与时间特征有关时，我们称为时间固定效应模型。
• 同理，和A潜在变量有关，我们就可以称它为A的固定效应模型。
• 当这个截距项与个体特征和时间特征都相关时，我们称为双固定效应模型。
• 同理，也可以同时依据三种或三种以上的变量进行分类，回归得出它们影响的截距项的估计值。

个体固定效应模型

模型假设

1.E(εit)=0E(\varepsilon_{it})=0E(εit​)=0;
2.var(ε)=σε为常数var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数var(ε)=σε​为常数；
3 εit与Xit不相关\varepsilon_{it}与X_{it}不相关εit​与Xit​不相关;
4. αi与Xit相关\alpha_i 与X_{it}相关αi​与Xit​相关
5. E(αi)=0E(\alpha_i)=0E(αi​)=0

模型公式

Yit=α0+αi+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α0​+αi​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T

补充：也写为
Yit=ui+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=u_i+ X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=ui​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
ui=α0+αi,E(ui)=α0,E(αi)=0u_i = \alpha_0 +\alpha_i, E(u_i)= \alpha_0,E(\alpha_i)=0ui​=α0​+αi​,E(ui​)=α0​,E(αi​)=0

估计方法展示

数据结构如下：

1.组内（within）估计（离差估计）
离差估计就是剔除常数项，然后进行估计，首先明白我们的目标：分别计算a,b,c,d,ea,b,c,d,ea,b,c,d,e组内的截距和各自的组内β\betaβ .其实，不需要离差就可以回归。将a,b,c,d,e组的数据分别带入Yit=α0+αi+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α0​+αi​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T，就可以得到结果。

• 离差方差推导
  原方程：
  Yit=α0+αi+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α0​+αi​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
  求均值方程：
  Yˉi=α0+αi+Xˉi′β+εˉi,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i + \bar X_{i}' \beta + \bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYˉi​=α0​+αi​+Xˉi′​β+εˉi​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
  离差变换（原方程减均值方程）：
  Yit−Yˉi=α0+αi−(α0+αi)+Xit′β−Xˉi′β+εit−εˉi=Xit′β−Xˉi′β+εit−εˉi,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}-\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i -(\alpha_0 +\alpha_i)+ X_{it}' \beta - \bar X_{i}' \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i}= X_{it}' \beta - \bar X_{i}' \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​−Yˉi​=α0​+αi​−(α0​+αi​)+Xit′​β−Xˉi′​β+εit​−εˉi​=Xit′​β−Xˉi′​β+εit​−εˉi​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
  Yˉi=1T∑t=1T(Yit)\bar Y_i= \frac{1}{T}\displaystyle\sum_{t=1}^T(Y_{it})Yˉi​=T1​t=1∑T​(Yit​)
  Xˉi=1T∑t=1T(Xit)\bar X_i= \frac{1}{T}\displaystyle\sum_{t=1}^T(X_{it})Xˉi​=T1​t=1∑T​(Xit​)

• 带入离差数据求解,文字描述
  通过(y,x1,x2,x3,x4)(y,x_1,x_2,x_3,x_4)(y,x1​,x2​,x3​,x4​)计算组内时间上的均值(y,x1,x2,x3,x4)ˉ\bar{(y,x_1,x_2,x_3,x_4)}(y,x1​,x2​,x3​,x4​)ˉ​，然后计算离差(y,x1,x2,x3,x4)−(y,x1,x2,x3,x4)ˉ(y,x_1,x_2,x_3,x_4)- \bar{(y,x_1,x_2,x_3,x_4)}(y,x1​,x2​,x3​,x4​)−(y,x1​,x2​,x3​,x4​)ˉ​,带入离差方程Yit−Yˉi=Xit′β−Xˉi′β+εit−εˉi,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}-\bar Y_{i}= X_{it}' \beta - \bar X_{i}' \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​−Yˉi​=Xit′​β−Xˉi′​β+εit​−εˉi​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T进行估计。

• 利用估计出的β\betaβ带入均值方程Yˉi=α0+αi+Xˉi′β+εˉi,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i + \bar X_{i}' \beta + \bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYˉi​=α0​+αi​+Xˉi′​β+εˉi​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T，求解组内的(α0+αi\alpha_0 +\alpha_iα0​+αi​)

• 通过上一步NNN个组的(α0+αi\alpha_0 +\alpha_iα0​+αi​)，求解α0=1N∑t=1N(α0+αi)\alpha_0 = \frac{1}{N}\displaystyle\sum_{t=1}^N(\alpha_0 +\alpha_i)α0​=N1​t=1∑N​(α0​+αi​),依据假设5：E(αi)=0E(\alpha_i)=0E(αi​)=0

• 再求解αi=(α0+αi)−α0\alpha_i = (\alpha_0 +\alpha_i) - \alpha_0αi​=(α0​+αi​)−α0​

2.一阶差分估计
原理： 因为α0+αi\alpha_0 +\alpha_iα0​+αi​是不受时间影响的，所以我们可以使用差分方法消去常数项

• 差分方程推导
  原方程：
  Yit=α0+αi+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α0​+αi​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
  上一期方程：
  Yi,t−1=α0+αi+Xi,t−1′β+εi,t−1,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{i,t-1}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{i,t-1}' \beta + \varepsilon_{i,t-1},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYi,t−1​=α0​+αi​+Xi,t−1′​β+εi,t−1​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
  原方程减上一期方程：
  Yit−Yi,t−1=α0+αi+Xit′β+εit−α0−αi−Xi,t−1′β−εi.t−1=Xit′β−Xi,t−1′β+εit−εi,t−1Y_{it}-Y_{i,t-1}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it}-\alpha_0 - \alpha_i - X_{i,t-1}' \beta - \varepsilon_{i.t-1} = X_{it}' \beta -X_{i,t-1}' \beta + \varepsilon_{it}- \varepsilon_{i,t-1}Yit​−Yi,t−1​=α0​+αi​+Xit′​β+εit​−α0​−αi​−Xi,t−1′​β−εi.t−1​=Xit′​β−Xi,t−1′​β+εit​−εi,t−1​
• 数据代入求解即可。
• 此方法无法求解截距项。

3.LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将个体差异以截距项形式的虚拟变量加入。
估计方程形式：
Y=Dα+Xβ+εY = D \alpha+X\beta + \varepsilonY=Dα+Xβ+ε
D=(D1D2D3...DN)D=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_N \end{pmatrix}D=(D1​​D2​​D3​​...​DN​​)
其中：
DN={1if 为N组0if 不为N组D_N=\begin{cases} 1 &\text{if } 为N组 \\ 0 &\text{if } 不为N组 \end{cases}DN​={10​if 为N组if 不为N组​

时点固定效应模型

模型假设

1.E(εit)=0E(\varepsilon_{it})=0E(εit​)=0;
2.var(ε)=σε为常数var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数var(ε)=σε​为常数
3 εit与Xit不相关\varepsilon_{it}与X_{it}不相关εit​与Xit​不相关;
4. λt与Xit相关\lambda_t 与X_{it}相关λt​与Xit​相关；

模型公式

Yit=λ0+λt+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\lambda_0 +\lambda_t + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=λ0​+λt​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T

估计方法展示

数据结构如下：

LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将时间段以截距项形式的虚拟变量加入。
估计方程形式：
Y=Dλ+Xβ+εY = D\lambda+X\beta + \varepsilonY=Dλ+Xβ+ε
D=(D1D2D3...DT)D=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_T \end{pmatrix}D=(D1​​D2​​D3​​...​DT​​)
其中：
DT={1if 为T时期0if 不为T时期D_T=\begin{cases} 1 &\text{if } 为T时期 \\ 0 &\text{if } 不为T时期 \end{cases}DT​={10​if 为T时期if 不为T时期​

个体时点固定效应模型

模型假设

1 E(εit)=0E(\varepsilon_{it})=0E(εit​)=0;
2 var(ε)=σε为常数var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数var(ε)=σε​为常数
3 εit与Xit不相关\varepsilon_{it}与X_{it}不相关εit​与Xit​不相关;
4 λt与Xit相关\lambda_t 与X_{it}相关λt​与Xit​相关；
5 αi与Xit相关\alpha_i 与X_{it}相关αi​与Xit​相关；
6 E(αi)=0E(\alpha_i)=0E(αi​)=0；
7 E(λi)=0E(\lambda_i)=0E(λi​)=0；

这里我们设定：
α~i=α0+αi;λ~t=λ0+λt\tilde{\alpha}_i=\alpha_0+\alpha_i;\tilde{\lambda}_t=\lambda_0+\lambda_tα~i​=α0​+αi​;λ~t​=λ0​+λt​;
8 E(α~i)=α0E(\tilde{\alpha}_i)=\alpha_0E(α~i​)=α0​;
9 E(λ~i)=λ0E(\tilde{\lambda}_i)=\lambda_0E(λ~i​)=λ0​;

模型公式

Yit=(α0+λ0)+αi+λt+Xit′β+εitY_{it}=(\alpha_0 +\lambda_0)+\alpha_i +\lambda_t + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it}Yit​=(α0​+λ0​)+αi​+λt​+Xit′​β+εit​
=α0+αi+λ0+λt+Xit′β+εit=\alpha_0 +\alpha_i + \lambda_0 +\lambda_t + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it}=α0​+αi​+λ0​+λt​+Xit′​β+εit​
=α~i+λ~i+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T=\tilde{\alpha}_i+\tilde{\lambda}_i+X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T=α~i​+λ~i​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T

估计方法

数据结构展示：

LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将时间段以截距项形式的虚拟变量加入。

• 估计方程形式：
  Y=Dλλ+Dαα+Xβ+εY = D_{\lambda}\lambda + D_\alpha\alpha+X\beta + \varepsilonY=Dλ​λ+Dα​α+Xβ+ε
  Dλ=(D1D2D3...DT)D_{\lambda}=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_T \end{pmatrix}Dλ​=(D1​​D2​​D3​​...​DT​​)
  其中：
  DT={1if 为T时期0if 不为T时期D_T=\begin{cases} 1 &\text{if } 为T时期 \\ 0 &\text{if } 不为T时期 \end{cases}DT​={10​if 为T时期if 不为T时期​
  Dα=(D1D2D3...DN)D_\alpha=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_N \end{pmatrix}Dα​=(D1​​D2​​D3​​...​DN​​)
  其中：
  DN={1if 为N组0if 不为N组D_N=\begin{cases} 1 &\text{if } 为N组 \\ 0 &\text{if } 不为N组 \end{cases}DN​={10​if 为N组if 不为N组​

• 也可以将时间与个体效应混合
  Y=Dh+Xβ+εY = Dh + X\beta + \varepsilonY=Dh+Xβ+ε
  D=(D1D2D3...DN∗T)D=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_{N*T} \end{pmatrix}D=(D1​​D2​​D3​​...​DN∗T​​)
  其中：
  D={1if 为第N个体的T时期0if 不为第N个体的T时期D=\begin{cases} 1 &\text{if } 为第N个体的T时期 \\ 0 &\text{if } 不为第N个体的T时期 \end{cases}D={10​if 为第N个体的T时期if 不为第N个体的T时期​

个体时点双固定效应，控制区域、行业等模型

模型假设

1 E(εit)=0E(\varepsilon_{it})=0E(εit​)=0;
2 var(ε)=σε为常数var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数var(ε)=σε​为常数
3 εit与Xit不相关\varepsilon_{it}与X_{it}不相关εit​与Xit​不相关;
4 λt与Xit相关\lambda_t 与X_{it}相关λt​与Xit​相关；
5 αi与Xit相关\alpha_i 与X_{it}相关αi​与Xit​相关；
6 E(αi)=0E(\alpha_i)=0E(αi​)=0；
7 E(λt)=0E(\lambda_t)=0E(λt​)=0；

这里我们设定：
α~i=α0+αi;λ~i=λ0+λt\tilde{\alpha}_i=\alpha_0+\alpha_i;\tilde{\lambda}_i=\lambda_0+\lambda_tα~i​=α0​+αi​;λ~i​=λ0​+λt​;
8 E(α~i)=α0E(\tilde{\alpha}_i)=\alpha_0E(α~i​)=α0​;
9 E(λ~t)=λ0E(\tilde{\lambda}_t)=\lambda_0E(λ~t​)=λ0​;

模型公式

Yit=α~i+λ~t+Dtypeγ+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\tilde{\alpha}_i+\tilde{\lambda}_t+D_{type}\gamma+X_{it}' \beta + \varepsilon_{it}, i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α~i​+λ~t​+Dtype​γ+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T

这个方程为了方便理解而设定，其中α~i与Dtype\tilde{\alpha}_i与D_{type}α~i​与Dtype​存在共线性问题，毕竟类型属性也是个体特征的一部分嘛！

估计方法展示

数据展示

估计方法：同上，将类型变量按照虚拟变量加入方程即可。

随机效应模型

背景思想：每组估计值的截距项的变动不与X的特征有关。

个体随机效应

模型假设

1.E(εit)=0E(\varepsilon_{it})=0E(εit​)=0;
2.var(σε)为常数var(\sigma_\varepsilon)为常数var(σε​)为常数；
3 εit与Xit不相关\varepsilon_{it}与X_{it}不相关εit​与Xit​不相关;
4. αi与Xit,εit不相关\alpha_i 与X_{it},\varepsilon_{it}不相关αi​与Xit​,εit​不相关;
5. αi∼i.i.d(0,σα2)\alpha_i \thicksim i.i.d(0,\sigma_\alpha^2)αi​∼i.i.d(0,σα2​);

公式：

Yit=α0+αi+Xit′β+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TY_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,TYit​=α0​+αi​+Xit′​β+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
=α0+Xit′β+(αi+εit),i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T=\alpha_0 + X_{it}' \beta +(\alpha_i+ \varepsilon_{it}),i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T=α0​+Xit′​β+(αi​+εit​),i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T
=α0+Xit′β+vit,vit=αi+εit,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T=\alpha_0 + X_{it}' \beta + v_{it}, v_{it}=\alpha_i + \varepsilon_{it}, i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T=α0​+Xit′​β+vit​,vit​=αi​+εit​,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T

根据vit=αi+εitv_{it}=\alpha_i + \varepsilon_{it}vit​=αi​+εit​；αi∼i.i.d(0,σα2)\alpha_i \thicksim i.i.d(0,\sigma_\alpha^2)αi​∼i.i.d(0,σα2​);αi与Xit,εit不相关\alpha_i 与X_{it},\varepsilon_{it}不相关αi​与Xit​,εit​不相关;var(ε)=σε为常数var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数var(ε)=σε​为常数
推导：
cov(vit,vis)=cov(αi+εit,αi+εis)=cov(αi,αi+εis)+cov(εit,αi+εis)=cov(αi,αi)+cov(αi,εis)+cov(εit,αi)+cov(εit,εis)={σα2if t≠sσα2+σεif t=scov(v_{it},v_{is})=cov(\alpha_i + \varepsilon_{it},\alpha_i + \varepsilon_{is})=cov(\alpha_i ,\alpha_i + \varepsilon_{is})+cov(\varepsilon_{it},\alpha_i + \varepsilon_{is})=cov(\alpha_i ,\alpha_i )+cov(\alpha_i ,\varepsilon_{is})+cov(\varepsilon_{it},\alpha_i )+ cov(\varepsilon_{it},\ \varepsilon_{is}) =\begin{cases} \sigma_\alpha^2 &\text{if } t \neq s \\ \sigma_\alpha^2 + \sigma_\varepsilon &\text{if } t=s \end{cases}cov(vit​,vis​)=cov(αi​+εit​,αi​+εis​)=cov(αi​,αi​+εis​)+cov(εit​,αi​+εis​)=cov(αi​,αi​)+cov(αi​,εis​)+cov(εit​,αi​)+cov(εit​, εis​)={σα2​σα2​+σε​​if t​=sif t=s​
所以不满足古典假定，存在异方差与自相关问题。

估计方法展示

• 可行的广义最小二乘法(FGLS)
  
  
  

模型设定检验

F检验（chow’s test）

原假设：混合回归模型
备择假设：其他模型

以个体固定效应模型为例：Yit=ui+Xit′β+εitY_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}Yit​=ui​+Xit′​β+εit​

原假设：u1=u2=...=uNu_1=u_2=...=u_Nu1​=u2​=...=uN​ （存在约束，截距不会变）
Yit=ui+Xit′β+εitY_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}Yit​=ui​+Xit′​β+εit​
计算回归的RSSrRSS_rRSSr​
备择假设：u1，u2，...，uN不全相等u_1，u_2，...，u_N不全相等u1​，u2​，...，uN​不全相等 （无约束，截距会变）
Yit=ui+Xit′β+εitY_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}Yit​=ui​+Xit′​β+εit​
计算回归的RSSuRSS_uRSSu​

F统计量构造：
F=(RSSr−RSSu)/[(NT−k−1)−(NT−k−N)]RSSu/(NT−k−N)∼F(N−1,NT−k−N)F=\cfrac{(RSS_r-RSS_u)/[(NT-k-1)-(NT-k-N)]}{RSS_u/(NT-k-N)} \thicksim F(N-1,NT-k-N)F=RSSu​/(NT−k−N)(RSSr​−RSSu​)/[(NT−k−1)−(NT−k−N)]​∼F(N−1,NT−k−N)

LR检验

原假设：混合回归模型
备择假设：其他模型

以个体固定效应模型为例：Yit=ui+Xit′β+εitY_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}Yit​=ui​+Xit′​β+εit​

原假设：u1=u2=...=uNu_1=u_2=...=u_Nu1​=u2​=...=uN​ （存在约束，截距不会变）
Yit=ui+Xit′β+εitY_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}Yit​=ui​+Xit′​β+εit​
计算回归的最大似然函数值的对数ln(Lr)ln(L_r)ln(Lr​)
备择假设：u1，u2，...，uN不全相等u_1，u_2，...，u_N不全相等u1​，u2​，...，uN​不全相等 （无约束，截距会变）
Yit=ui+Xit′β+εitY_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}Yit​=ui​+Xit′​β+εit​
计算回归的最大似然函数值的对数ln(Lu)ln(L_u)ln(Lu​)

LR统计量构造：
LR=−2(lnLr−lnLu)渐近服从χ2(约束条件的个数:N−1)LR=-2(lnL_r-lnL_u)渐近服从\chi^2(约束条件的个数: N-1)LR=−2(lnLr​−lnLu​)渐近服从χ2(约束条件的个数:N−1)

豪斯曼检验（Hauseman’s test）

原假设：个体随机效应模型(个体效应与回归变量无关)
备择假设：个体固定效应模型(个体效应与回归变量有关)

检验的原理：
利用组内估计(within)，无论是随机效应模型的参数估计值还是固定效应模型的参数估计值，估计参数值都是一致的
利用广义最小二乘法，对随机效应模型的参数估计值是一致的，对于随机效应模型的参数估计值是不一致的

检验逻辑图：

变截距面板数据模型建模步骤

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