电子科技大学《图论及其应用》复习总结---第二章 树
第二章 树
一、树的概念与性质
定义1 不含圈的图称为无圈图,树是连通的无圈图。
定义2 称无圈图G为森林。
注: (1) 树与森林都是单图;
(2) 树与森林都是偶图。
定理1 每棵非平凡树至少有两片树叶。
定理2 图G是树当且仅当G中任意两点都被唯一的路连接。
定理3 设T是(n, m)树,则:m=n−1m=n-1m=n−1
推论1 具有k个分支的森林有n-k条边。
定理4 每个n阶连通图的边数至少为n-1.
定理5 任意树T的两个不邻接顶点之间添加一条边后,可以得到唯一圈。
离心率、半径、直径、中心点、中心
**(1)**图的顶点的离心率
**(2)**图的半径
**(3)**图的直径:最大离心率。
**(4)**图的中心点:离心率等于半径的点。
**(5)**图的中心:中心点的集合。
**(6)**树的形心概念与性质
设u是树T的任意一个顶点,树T在顶点u的分支是指包含u作为一个叶点的极大子树,其分支数为顶点u的度数;树T在u点的分支中边的最大数目称为点u的权;树T中权值最小的点称为它的一个形心点。全体形心点的集合称为树T的形心。
定理7 每棵树的中心由一个点或两个相邻点组成。
定理8 每一棵树有一个由一个点或两个邻接的点组成的形心。
二、生成树
(一)、生成树的概念与性质
定义1 图G的一个生成子图T如果是树,称它为G的一棵生成树;若T为森林,称它为G的一个生成森林。
生成树的边称为树枝,G中非生成树的边称为弦。
定理1 每个连通图至少包含一棵生成树。
推论 若G是(n, m)连通图,则m≧n-1
注:连通图G的生成树一般不唯一
**(**二)、生成树的计数
1、凯莱递推计数法
定义2 图G的边e称为被收缩,是指删掉e后,把e的两个端点重合,如此得到的图记为G.e
定理2 (Cayley) 设e是G的一条边,则有:
τ(G)=τ(G−e)+τ(G.e)\tau(G) = \tau(G-e)+\tau(G.e) τ(G)=τ(G−e)+τ(G.e)
凯莱公式的缺点之一是计算量很大,其次是不能具体指出每棵生成树。
2、关联矩阵计数法
定义3 :n×m矩阵的一个阶数为min{n, m}的子方阵,称为它的一个主子阵;主子阵的行列式称为主子行列式。
定理3 设AmA_mAm是连通图G的基本关联矩阵的主子阵,则AmA_mAm奇异的充分必要条件是相应于AmA_mAm的列的那些边构成G的一棵生成树。
注: 基本关联矩阵为关联矩阵中划去任意结点V所对应的行。
该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法:
(1) 写出G的关联矩阵,进一步写出基本关联矩阵,记住参考点;
(2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵,对每个这样的主子阵,画出相应的生成树。
该方法的优点是不仅指出生成树棵数,而且能绘出所有不同生成树;缺点是找所有非奇异主子阵计算量太大!
3*、矩阵树定理
定理4 (矩阵树定理) 设G是顶点集合为V(G)={v1,v2,…,vn},的图,设A=(aij)是G的邻接矩阵,C=(cij)是n阶方阵,其中:
则G的生成树棵数为C的任意一个余子式的值。
定理中的矩阵C又称为图的拉普拉斯矩阵,又可定义为:
C=D(G)−A(G)C = D(G)-A(G) C=D(G)−A(G)
其中,D(G)是图的度对角矩阵,即主对角元为对应顶点度数,其余元素为0。A(G)是图的邻接矩阵。
定理7 τ(Kn)=nn−2\tau(K_n)=n^{n-2}τ(Kn)=nn−2
**(**二)、回路系统简介
定义4 设T是连通图G的一棵生成树,把属于G但不属于T的边称为G关于T的连枝,T中的边称为G关于T的树枝。
在上图中,红色边导出图的一棵生成树。则红色边为G对应于该生成树的树枝,白色边为G对应于该生成树的连枝
定义5 设T是连通图G的一棵生成树,由G的对应于T一条连枝与T中树枝构成的唯一圈C,称为G关于T的一个基本圈或基本回路。若G是(n, m)连通图,把G对应于T的m-n+1个基本回路称为G对应于T的基本回路组。记为CfC_fCf .
定理4 设T是连通图G=(n, m) 的一棵生成树,C1, C2,…,Cm-n+1是G对应于T的基本回路组。定义:1.Gi=Gi , 0.Gi=Φ,Gi是G的回路。则G的回路组作成的集合对于该乘法和图的对称差运算来说作成数域F={0,1}上的m-n+1维向量空间。
说明: 连通图G的所有回路作成子图空间的一个子空间,该空间称为回路空间或回路系统。
三、最小生成树
在图中求所谓的最小生成树问题。或称为赋权图中的最小连接问题。
最小连接问题的一般提法为:
在连通边赋权图G中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称为最小生成树或最小代价树。
(一)、克鲁斯克尔算法
1、算法思想 从G中的最小边开始,进行最小权避圈式扩张。
定理1 由克鲁斯克尔算法得到的任何生成树一定是最小生成树。(证明略)
(二)、管梅谷的破圈法
破圈法求最小生成树的求解过程是:从赋权图G的任意圈开始,去掉该圈中权值最大的一条边,称为破圈。不断破圈,直到G中没有圈为止,最后剩下的G的子图为G的最小生成树。
(三)、Prim算法
对于连通赋权图G的任意一个顶点u,选择与点u关联的且权值最小的边作为最小生成树的第一条边e1;
在接下来的边e2,e3,…,en-1 ,在与一条已经选取的边只有一个公共端点的的所有边中,选取权值最小的边。
(四)、根树简介
1.概念
定义2: 一棵树T,如果每条边都有一个方向,称这种树为有向树。对于T的顶点v来说,以点v为终点的边数称为点v的入度,以点v为起点的边数称为点v的出度。入度与出度之和称为点v的度。
定义3: 一棵非平凡的有向树T,如果恰有一个顶点的入度为0,而其余所有顶点的入度为1,这样的的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根,出度为0的点称为树叶,入度为1,出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点。
定义4: 对于根树T,顶点v到树根的距离称为点v的层数;所有顶点中的层数的最大者称为根树T的树高。
定义5: 对于根树T,若规定了每层顶点的访问次序,这样的根树称为有序树(先序遍历,中序遍历,后序遍历)。
定义6: 对于根树T,由点v及其v的后代导出的子图,称为根树的子根树。
定义7: 对于根树T,若每个分支点至多m个儿子,称该根树为m元根树;若每个分支点恰有m个儿子,称它为完全m元树。
2.性质
定理2 在完全m元树T中,若树叶数为t , 分支点数为i , 则:
(m−1)i=t−1(m-1)i =t-1 (m−1)i=t−1
3.有序树转为二元树
4.最优二元树
定义8 设T是一棵二元树,若对所有t片树叶赋权值wi(1≦i≦t),且权值为wi的树叶层数为L(wi),称:
W(T)=∑i−1twiL(wi)W(T)=\sum_{i-1}^t w_i L(w_i) W(T)=i−1∑twiL(wi)
为该赋权二元树的权。而在所有赋权为wi的二元树中W(T)最小的二元树称为最优二元树。
哈夫曼算法:
总结:常用符号说明
T 树
τ(G)\tau(G)τ(G) 表示G的生成树棵数。
A(G)A(G)A(G) 表示图G的邻接矩阵
D(G)D(G)D(G) 表示图G的度对角矩阵
总结:常用性质定理
1、最小生成树求法:
1.克鲁斯克尔算法(避圈法)
2.管梅谷的破圈法
3Prim算法
2、矩阵树定理:求图G的生成树的棵数
则G的生成树棵数为C的任意一个余子式的值。定理中的矩阵C又称为图的拉普拉斯矩阵,又可定义为:
C=D(G)−A(G)C = D(G)-A(G) C=D(G)−A(G)
其中,D(G)是图的度对角矩阵,即主对角元为对应顶点度数,其余元素为0。A(G)是图的邻接矩阵。
3、哈夫曼算法:求最优二元树
总结:一些结论
设G是具有n个点m条边的图,则下列命题等价
(1)G 是树
(2)G 无环且任意两个不同点之间存在唯一的路
(3)G 连通,删去任一边便不连通
(4)G 连通,且 n = m + 1
(5)G 无圈,且 n = m + 1
(6)G 无圈,添加任何一条边可得唯一的圈
树和森林都是简单图
树和森林都是偶图
每棵非平凡树至少含有两片树叶
树是含有边数最少的连通图,成为最小连通图
树是含有边数最多的无圈图
假定(n,m)图G是由k棵树组成的森林,则m=n-k
若G是树,且最大度大于等于k,则G至少有k片叶子
设T是(n, m)树,则m=n-1
在完全m元树T中,若树叶数为t , 分支点数为i , 则:(m−1)i=t−1(m-1)i =t-1(m−1)i=t−1
每个连通图至少包含一棵生成树
τ(Kn)=nn−2\tau(K_n)=n^{n-2}τ(Kn)=nn−2
非平凡树不一定存在割点,但一定存在割边,比如K2K_2K2
非平凡树T,最多包含一个完美匹配
非平凡树T是只有一个面(外平面)的平面图
只有一个面的连通平面图一定是树
电子科技大学《图论及其应用》复习总结---第二章 树相关推荐
- 电子科技大学 图论期末复习 公式索引
title: 图论期末考试复习 date: 2020-08-17 09:01:09 tags: 参考资料:<图论及其应用> 高等教育出版社 张先迪 / 李正良 仅用于方便复习公式查阅,公式 ...
- 电子科技大学 图论期末复习 公式快速索引
title: 图论期末考试复习 date: 2020-08-24 09:01:09 tags: 参考资料:<图论及其应用> 高等教育出版社 张先迪 / 李正良 仅用于复习参考,公式或多有误 ...
- 计算机软考串行和并行公式,2011年计算机软考网络管理员复习笔记第二章
2011年计算机软考网络管理员复习笔记第二章 第二章 数据通信 (1) 数据通信:两个实体间的数据传输和交换. 2.1数据通信技术 2.1.1 模拟数据通信和数字数据通信 (2) 模拟数据:在某个区间 ...
- 软件工程复习提纲——第二章
软件工程复习提纲,期末.考研的学霸笔记 第二章--可行性研究 第二章可行性研究 1.可行性研究的任务:可行性研究的目的不是解决问题,而是用最小的代价在尽可能短的时间内确 定问题是否能够解决,是否值得去 ...
- 无线网络技术复习整理——第二章
目录 第二章 无线网络基础 无线电频谱 无线传输介质和方式 损耗和衰落 损耗 衰减和衰减失真 自由空间损耗 噪声 大气吸收 多径 折射 多径传播 衰落类型 扩频 复用和多址 天线 天线的分类 天线的主 ...
- java第二章复习_JAVA第二章知识点
JAVA第二章知识点 本章知识梳理 2.1 关键字 2.2 标识符 2.3 变 量 2.4运算符 2.5 程序流程控制 2.6 方法 2.1 关键字 关键字(keyword)的定义和特点 定义:被ja ...
- 电子科技大学图论期末复习重点(杨春老师强调+往年期末卷子总结)
附加老师最后一节课画的重点(课堂笔记) 结语:2022年图论试卷很基础,掌握基础80分没有问题的,大家冲冲冲!!!
- 电子科技大学马克思主义基本原理期末复习和考试原题(2023年原题)
2023年考题: 材料简单题: 1.辩证否定观 2.交往的作用 3.马克思的劳动价值理论和意义 材料分析题: 1.人民至上 2.文化的作用 复习内容: <马克思主义基本原理>期末复习指南 ...
- 【软考中级】多媒体应用设计师复习笔记第二章
第2章多媒体信息处理及编辑技术 2.1多媒体信息的种类和特点 视觉类媒体:文字.图像(视觉表示方法的基础).视频.动画及其他听觉类媒体:波形声音(数字化的基础).语音.音乐 文字 英文字符用ASCII ...
最新文章
- SQL Server之存储过程基础知识
- corba中IDL接口传值中文报错问题
- 微信JSSDK javascript 开发 代码片段,仅供参考
- c++学习笔记之输入/输出流
- JS--对象的特性之一---继承性
- linux的审计功能(audit)
- Input Director使用一个键盘和鼠标即可控制多台Windows计算机
- emu8086的入门使用
- DOS命令是如何操作目录和文件夹的?
- SparkSQL和HiveSql的对比
- mysql索引,索引结构,索引类型,索引失效
- java创建临时文件
- 淘宝API-天天特价
- Android之Spinner使用详解
- 【机器学习】阿里云天池竞赛——工业蒸汽量预测(2)
- 如何让你的.vue在sublime text 3 中变成彩色?
- 这篇 ElasticSearch 详细使用教程,内部分享时被老大表扬了
- 【机器学习】图像语义分割常用指标Dice系数 敏感性 特异性 IOU及python代码实现
- kankan including About CE
- Dreamweaver CC 2018使用(个人使用总结)
热门文章
- 物联网Lora组网方式及私有协议的应用
- 自己动手写操作系统0
- mysql导入报错1071_mysql报错:Specified key was too long; max key length is 767 bytes | 吴老二...
- 影视剪辑,你应该掌握的剪辑流程和技巧
- JDBC(模拟银行转账)
- 搞定Java安装包制作
- 多层高速PCB设计学习笔记(五)四层板实战(下)之阻抗控制计算(SI9000)
- 第十届软件杯(民航大数据在线可视化分析系统)
- 一文速览,118只区块链概念股谁对区块链是真爱?
- 台湾百张最佳专辑Mp3下载