1925: [Sdoi2010]地精部落

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Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正整数。如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

Source

第一轮Day2

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代码难道几乎为零，，但是想不到有办法？

显然是dp没得说，，状态设计如下：

fi,j:用i个数字，最后一位是第j小的，且为山谷的方案数

gi,j:用i个数字，最后一位是第j小的，且为山峰的方案数

这里i是种离散的概念，，无论如何取i个不同的数字，我们总是能用[1,i]等效替换

那么，fi,j = ∑gi-1,k (k ∈ [j,i-1])

也就是说，当前i个数中，拿掉第j小的做为山谷，那么前一位一定是山峰

然后山峰的最后一位一定要比当前位来得高，而第j小的已经被拿掉，所以剩余数字中[j,i-1]都比当前第j小来得大

然后，，对于fi,j中任意一种方案，将每个位置的数替换为i - k + 1，那么整个山脉山谷山峰转置，且对应一种合法方案，也就是说fi,j = gi,i - j + 1

于是可以改写转移方程 fi,j = ∑fi-1,t (t ∈ [1,i - j])，优化方法显然

最后上个滚动数组，，输出fn,n * 2即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<cmath>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
using namespace std;const int maxn = 4233;int n,p,cur,nex = 1,f[2][maxn];int main()
{#ifdef DMCfreopen("DMC.txt","r",stdin);#endifcin >> n >> p;f[cur][1] = f[cur][2] = 1;for (int i = 3; i <= n; i++,swap(cur,nex)) {for (int j = 1; j <= i; j++) f[nex][j] = f[cur][i-j];for (int j = 2; j <= i; j++)f[nex][j] = (f[nex][j] + f[nex][j-1]) % p;} cout << f[cur][n]*2%p;return 0;
}