bzoj 3143: [Hnoi2013]游走（高斯消元）

3143: [Hnoi2013]游走

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Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3

2 3

1 2

1 3

Sample Output

3.333

无向连通图

只要知道每条边经过的期望，就可以排序贪心了

而对于边e(u, v)，经过这条边的期望为：经过u点的期望/u点度数+经过v点的期望/v点度数

所以这题还是求经过每个点次数的期望

设经过第i个点的期望次数为x[i]，第i个点度数为in[i]，那么有方程组

x[i] = ∑(x[j]/in[j]) (存在边e(i, j), j!=n)

但是1号点和n号点特殊，一开始就在1号点所以

x[1]-1 = ∑(x[j]/in[j]) (存在边e(1, j), j!=n)

而到了n号点就结束了所以

1-x[n] = ∑(x[j]/in[j]) (存在边e(n, j), j!=n)，这也是为什么所有的方程都要j!=n

这样就可以列出n个n元方程，高斯消元求解即可

最后求出边期望贪心

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef struct Road
{int x, y;double q;bool operator < (const Road &b) const{if(q<b.q)return 1;return 0;}
}Road;
Road s[250005];
double Jz[505][505], c[505], in[505];
void Gauss(int n, int m)
{int i, j, p, q, r;p = q = 1;while(p<=n && q<=m){r = p;for(i=p+1;i<=n;i++){if(fabs(Jz[i][q])>fabs(Jz[r][q]))r = i;}/*if(fabs(Jz[r][q])<eps)return 0;  ----方程无解*/for(i=q;i<=m;i++)swap(Jz[r][i], Jz[p][i]);swap(c[r], c[p]);c[p] /= Jz[p][q];for(i=q+1;i<=m;i++)Jz[p][i] /= Jz[p][q];for(i=1;i<=n;i++){if(Jz[i][q] && i!=p){for(j=q+1;j<=m;j++)Jz[i][j] -= Jz[p][j]*Jz[i][q];c[i] -= c[p]*Jz[i][q];Jz[i][q] = 0;}}q++, p++;}//return 1;
}
int main(void)
{int n, m, i;double ans;scanf("%d%d", &n, &m);for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d", &s[i].x, &s[i].y);in[s[i].x]++, in[s[i].y]++;}c[1] = -1, c[n] = 1;for(i=1;i<=n-1;i++)Jz[i][i] = -1;for(i=1;i<=m;i++){Jz[s[i].x][s[i].y] += 1/in[s[i].y];Jz[s[i].y][s[i].x] += 1/in[s[i].x];}for(i=1;i<=n-1;i++)Jz[i][n] = 0;Jz[n][n] = 1;Gauss(n, n);for(i=1;i<=m;i++)s[i].q = c[s[i].x]/in[s[i].x]+c[s[i].y]/in[s[i].y];sort(s+1, s+m+1);ans = 0;for(i=1;i<=m;i++)ans += (m-i+1)*s[i].q;printf("%.3f\n", ans);return 0;
}