排序算法专题-归并排序

归并排序是一种十分经典的冲破O(n²)时间复杂度的排序算法，该算法是基于分治的思想，讲解算法原理之前，先看一下下面这张图。

图片来源：【算法】排序算法之归并排序
上图就是归并算法的一个简单示例。该算法就是每次将数组递归拆解为两部分，直到所有部分包含元素为1，之后递归的将各个部分进行归并。
具体的算法步骤如下：
1:递归拆解数组，直到每个区块包含元素数量为1
2：归并数组，直到归并后的数组长度等于原数组长度
3：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
4：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
5：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
5：重复步骤 4直到某一指针达到序列尾
7：将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾
8：重复步骤2-7

从上述可以看出，该算法的实现是基于递归思想，但是所有的递归都可以转换成迭代，因此该算法有两个实现方式，递归和迭代。

代码如下，以递归为例：
如果单从原理原理上来直接写代码会比较复杂，我们可以将该算法拆解为两个部分，及分割和归并。分割是一个简单的递归，代码如下：

def mergeSort(nums):"""将输入数组递归拆分，直到长度为1时返回，对每一步返回的left,right进行顺序归并>>>mergeSort(3,38, 5, 44, 15, 36)>>>[3, 5, 15, 36, 38, 44]"""if len(nums) < 2:return numsmid = len(nums)//2left, right = nums[:mid], nums[mid:]return mergeHelp(mergeSort(left), mergeSort(right))

其中mergeHelp是mergeSort的一个help方法，用于对拆分后的数组进行顺序归并。
以[3,38, 5, 44, 15, 36]举个栗子，说一下递归过程：
1：[3, 38, 5] [44, 15, 36]
2：[3] [38, 5]
3：[38] [5]
4：[44] [15, 36]
5：[15] [36]
接下来我们实现mergeHelp方法，就是给定两个有序数组，将其按顺序合并为一个数组，代码如下：

def mergeHelp(left, right):"""归并排序的help方法，用于将拆分的left和right进行顺序归并>>>mergeHelp([1, 3, 5], [2, 4, 5]):>>>[1, 2, 3, 4, 5, 5]"""res = []while left and right:if left[0] <= right[0]:res.append(left.pop(0))else:res.append(right.pop(0))while left:res.append(left.pop(0))while right:res.append(right.pop(0))return res

当我们实现了这个方法之后，看一下分割+归并的过程
[3, 38, 5] [44, 15, 36] 第一次分割
左数组[3, 38, 5]部分：
[3] [38, 5] 第一次分割
[38] [5] 第二次分割（左数组分割完毕，所有部分元素均为1）
[5, 38] 第一次归并
[3, 5, 38]emsp; 第二次归并，完成[3, 38, 5]部分序列的排序
右数组[44, 15, 36]部分：
[44] [15, 36] 第一次分割
[15] [36] 第二次分割
[15, 36] 第一次合并
[15, 36, 44] 第二次合并
原数组的所有子序列完成排序，进行最终的合并
[3, 5, 15, 36, 38, 44] 排序完成
算法解析：算法的时间复杂度从两个部分分来来看，很明显在mergeSort()递归方法里面，迭代公式为mid = len(nums)//2，该方法的时间复杂度是O(log n)，而在mergeHelp()归并方法里面，每一步像res里面追加一下元素，最终的的运行次数为len(left)+len(right)，很明显时间复杂度为O(n)，因此归并排序算法的总时间复杂度为O(n log n)。由于算法运行过程中，会递归生成原数组的切片，切片总长度为n，所以归并排序算法的空间复杂度为O(n)。
注意到我们在进行归并操作是，使用的是如下代码

while left and right:if left[0] <= right[0]:res.append(left.pop(0))else:res.append(right.pop(0))

也就是说对于同样大小的元素，我们先插入位于左边的，而后插入右边的，因此归并排序不会改变相同元素的相对位置，因此该算法是稳定的。

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