【面试】求数组子序列的最大和

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一、问题描述

输入一个整形数组，数组里可以有正数或负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。

第一次遇到这道题是参加x迅的笔试。题目中给出了两种解法，让填空。

二、简单解

拿到这道题，如果不考虑性能和复杂度，最简单的方法就是穷举。穷举出所有的子数组，并求出他们的和，返回最大值。不过，复杂度为O(n3)，不符合题目的要求（复杂度On）

int max_sum(int *arr, int len){  int max, sum;  for(int i = 0; i < len; i++) {  for(int j = i; j < len; j++) {  sum = 0;  for(int k = i; k <= j; k++) {  sum = sum + arr[k];  if(sum > max) {  max = sum;  }  }  }  }  if(max == 0) {  return max(arr, len);  }  return max;
}

三、复杂度为N²的解

观察上面的代码，我们使用了3个for循环。其中最内侧的for循环主要是控制每个字序列的长度，由于我们在计算的过程中，已经保存了当前最大字序列和，字序列的长度N对我们来说意义不大，因此完全可以撤消最内侧的循环。只按每个字序列起始位置来计算最大和。这样得到一个复杂度为N2的解。

int max_sum2(int *arr, int len){  int sum, max = 0;  for(int i = 0; i < len; i++) {  sum = 0;  for(int j = i; j < len; j++) {  sum = sum + arr[j];  if(max < sum) {  max = sum;  }  }  }  if(max == 0) {  return max(arr, len);  }  return max;
}

四、更低复杂度的探索

至此，我们已经得到一个复杂度为N²的解法。那么有没有更低复杂度的算法呢？在N²的算法中，我们遍历了从0到len-1开始的字序列，求出每种情况下得到的最大字序列和。那么我们有没有可能去掉这个循环呢？考虑使用动态规划的思想，记max_sum[i]为从0到i的子序列的最大和，那么可以得到递推式：

if max_sum[i] > 0
then    if arr[i+1] > 0    then max_sum[i+1] = max_sum[i] + arr[i+1];
else    max_sum[i+1] = max(0, arr[i+1])

利用这种思路得到一个线性时间的解答：

int max_sum3(int *arr, int len) {  int sum, max;  max = sum = 0;  for(int i = 0; i < len; i++) {  sum += arr[i];  if(sum < 0) {  sum = 0;  }  if(sum > max){  max = sum;  }  }  if(max == 0) {  return max(arr, len);  }  return max;
}

至此，我们得到一个时间复杂度On，空间复杂度O1的解。

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