数学分析定积分的应用(第10章)

一.平面图形的面积

二.通过平行截面面积求体积
(1)一般方法:

(2)求旋转体体积:

三.平面曲线的弧长与曲率
1.平面曲线的弧长
(1)弧长的定义:

(2)弧长计算公式:

定理10.1:设曲线C是1条没有自交点的非闭的平面曲线,由参数方程 { x = x ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) y = y ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) ( 1 ) \begin{cases}x=x(t)\,(α≤t≤β)\\y=y(t)\,(α≤t≤β)\end{cases}\qquad(1) {x=x(t)(α≤t≤β)y=y(t)(α≤t≤β)(1)给出;若 x ( t ) , y ( t ) x(t),y(t) x(t),y(t)在[α,β]上连续可微,则C是可求长的,且弧长为: s = ∫ α β [ x ′ ( t ) ] 2 + [ y ′ ( t ) ] 2 d t ( 2 ) s=\displaystyle\int_α^β\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt\qquad(2) s=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2 dt(2)

(3)弧长的性质:

(4)光滑曲线:

定义:

光滑曲线的弧长公式:

示例:

(5)弧微分:

2.曲率
(1)曲率的定义:

(2)曲率公式:

特别地,当曲线为椭圆 x = a c o s t , y = a s i n t ( 0 ≤ t ≤ 2 Π ) x=acos\,t,y=asin\,t\,(0≤t≤2Π) x=acost,y=asint(0≤t≤2Π)时,曲率公式为: K = a b [ ( a 2 − b 2 ) s i n 2 t + b 2 ] 3 2 K=\frac{ab}{[(a^2-b^2)sin^2t+b^2]^{\frac{3}{2}}} K=[(a2−b2)sin2t+b2]23ab当 a > b > 0 a>b>0 a>b>0时,在 t = 0 或 Π t=0或Π t=0或Π处(即长轴端点处)曲率最大,而在 t = Π 2 或 3 Π 2 t=\frac{Π}{2}或\frac{3Π}{2} t=2Π或23Π处(即短轴端点)处曲率最小,且 K m a x = a b 2 , K m i n = b a 2 K_{max}=\frac{a}{b^2},K_{min}=\frac{b}{a^2} Kmax=b2a,Kmin=a2b
更特别地,若曲线为圆,即在 a = b = R a=b=R a=b=R时,曲率个数为: K = 1 R K=\frac{1}{R} K=R1即圆上各点处的曲率相同,其值等于半径的倒数

特别地,直线上曲率处处为0

(3)曲率圆:

3.应用:铁路弯道分析

四.旋转曲面的面积
1.微元法:

注意事项:

2.旋转曲面的面积

曲面面积的定义及一般计算公式见 重积分 部分

五.定积分在物理中的某些应用
1.液体静压力:2.作用力:

3.功与平均功率:

六.使用定积分进行近似计算

1.矩形法:

2.梯形法:

3.抛物线法:

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