【矩阵论】单射、满射与双射

2024-06-03 16:03:45

映射；Mapping

映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映射。其中，A中的元素称为原像，B中的元素称为A中元素的像（imageimageimage）。

单射、满射与双射；Injection, surjection and bijection

单射：在英语中称为injectioninjectioninjection或oneoneone tototo oneoneone。设AAA和BBB是两个非空集合，FFF是一个映射。如果对BBB中任一元素，若AAA中有其原像，则其在AAA中的原像有且仅有一个，就称FFF为一个从AAA到BBB的单射。

即单射只能一对一，不能多对一。

F：A→BF：A \rightarrow BF：A→B isisis injectioninjectioninjection ififif andandand onlyonlyonly ififif
∀a,b∈A\forall a,b \in A∀a,b∈A, ThenThenThen F(a)=F(b)⇒a=bF(a)=F(b) \Rightarrow a=bF(a)=F(b)⇒a=b

满射：在英语中称为surjectionsurjectionsurjection或ontoontoonto。如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

即像集合BBB中的每个元素在AAA中都有一个或一个以上的原像。

F：A→BF：A \rightarrow BF：A→B isisis surjectionsurjectionsurjection ififif andandand onlyonlyonly ififif
∀b∈B\forall b \in B∀b∈B, ∃a∈A\exists a \in A∃a∈A suchsuchsuch thatthatthat F(a)=bF(a)=bF(a)=b

双射：在英语中称为为bijectionbijectionbijection。设AAA和BBB是两个非空集合，FFF是一个映射，如果对BBB中任一元素，依照映射FFF，AAA中都有其唯一的原像，就称FFF为一个从AAA到BBB的双射。

即对B中所有的元素，AAA中都存在其唯一原像。

F：A→BF：A \rightarrow BF：A→B isisis bijectionbijectionbijection ififif andandand onlyonlyonly ififif
∀b∈B\forall b \in B∀b∈B, thereisauniquea∈Athere\ is\ a\ unique\ a \in Athere is a unique a∈A suchsuchsuch thatthatthat F(a)=bF(a)=bF(a)=b

参考资料

[1]百度百科：浅谈对应，映射，单射，双射，满射，函数
[2]维基百科：单射、双射与满射

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