【问题思考总结】为什么跳跃间断点变上限积分连续但是不可导?【直观理解 几何方法】
问题
在搜索变上限积分相关知识的时候,对于间断点对变上限积分的影响不是很了解,找了很多资料都是严谨地证明,对于我这种考研只想把公式记下来,然后有一定理解的要求显然不符合,因此,在这里总结一种几何的理解。
理解
先看结论:
1.当函数连续时,变上限积分一定可导。
举例:
我们可以想象一下,讨论变限积分的可导性,其实就是讨论变限积分的变化率,积分是面积,那么变化率是什么呢?想象一个极小的区间【x,x+Δx】,变化量就是Δx*fx(因为是极小的区间,因此以直代曲,变化量是一个矩形)
那么变化率就是矩形的面积除以Δx,也就是fx。那么讨论可导性,导数是fx,fx存在则导数存在,那么fx连续,自然导数处处存在。
2.函数有可去间断点,变上限积分可导
举例:
这个地方是一个难点,包括公式证明的时候,对于这一个没有定义的点也是比较麻烦(采取了用极限值代替函数值的方法,但是本质上实际上还是用了几何意义,因此我们这里直接用几何意义进行说明)
之前我们提到,函数值存在就是导数存在。那么在这个区间上,有函数值不存在的点我们应该怎么考虑呢?
在之前的文章中提到过:一个极限是一个无穷逼近的过程,是一个函数,限定了他可以无限地接近一点。
【问题思考总结】一个大于0的数乘以无穷大一定是无穷大吗?【关于定点和动点,数和函数,定区间和变区间的辨析】
但是实际上,极限即使再小,他也是和一个邻域相关,因此本质上是一个区间。
在这里,我们的间断点实际上是一个点,那么它对应的面积是一条线的面积也就是0(Δx乘以函数值是有面积的),因此,这个间断点对面积的影响可以忽略不计,因此,对面积的变化率即积分的导数也就是没有影响。间断点没问题,整个函数自然也没问题了,等同于情况1。(好抽象)
3. 函数有跳跃间断点,变上限积分连续但是不可导
举例:
在这种情况下,刚才说的,线不影响面积,也不影响变化率,那么这个不是必然可导吗?
实际上不是的,因为之前这种说法成立是建立在fx除间断点,其他地方都是连续变化的。即在可去间断点的左右两侧**,左极限等于右极限。而这里显然不成立**。
因为我们这个变化率是用邻域定义的,考虑fx的左右极限,易证左极限不等于右极限(左边的变化率不等于右边的变化率),因此,面积在该点的变化率不存在,即变限积分在该点的导数不存在(这种方法也可以说明变限积分在可去间断点上的导数存在,但是这种方法说明不存在要更好一些,因为在可去间断点中涉及到补充定义的问题)
而又因为面积是逐渐变化的,因此,在面积的图象上是连续的,只不过是有尖点。
举例:
或者简洁一点记忆:函数越积分性质越好,因此之前有间断点的,积分完一定连续,之前连续的,积分完一定可导。
总结
变上限积分
- fx连续,变上限积分可导
- fx可去,变上限积分可导
- fx跳跃,变上限积分连续但是不可导
相关知识(个人总结)
可积性(定积分)
必要条件:可积则区间上一定有界。
充分条件:
- 连续必可积
- 有界且只有有限个间断点(第一类或者震荡)
原函数的存在性
- 连续一定有原函数
- 有第一类间断点一定没有原函数
- 有第二类间断点可能有原函数
有兴趣的小伙伴可以查一下证明。
以上均为思考和总结,如果有错误的地方请帮忙指正,定会致谢,欢迎博友一起讨论。
【问题思考总结】为什么跳跃间断点变上限积分连续但是不可导?【直观理解 几何方法】相关推荐
- 变限积分函数的求导(终极版神器)
变限积分函数的求导(终极版神器) 在一定程度上,我们可以将积分和求导当成互逆运算. 可是如果为变限积分也即在积分上下限中也存在变量的情况下,就不是简单地将积分号去掉这么简单了,该如何运算呢. 一般教辅 ...
- 高数 | 【概念剖析】f(x)、可积、原函数 与 变限积分的关系
建议搭配如下视频食用 ~ 变限积分.定积分.原函数性质大总结~背完秒杀真题!_哔哩哔哩_bilibili 一.变上限积分与原函数的关系? 要弄清楚它们之间的关系,首先我们来看定积分和不定积分是什么. ...
- 为什么可积不一定可导_函数可积、原函数存在、变上限函数的关系解读(绝对原创)...
有关函数可积.连续.间断.可导等问题的探究 一. 基 本概念: ① 原函数: ' f x F x F x f x F x f x 已知函数 是一个定义在 ...
- 数学竞赛倒计时23天_变上限下限积分求导法则
后天就要软考了,这几天得主要复习软考下午真题.今天简单学习了变上限下限积分求导法则和两道区间再现的积分题.
- 017 连续之一点连续、区间连续;间断之可去间断点、跳跃间断点
017 连续之一点连续.区间连续:间断之可去间断点.跳跃间断点
- Python 计算变上限二重积分的数值模拟进阶
Python 计算变上限二重积分的数值模拟进阶 示例1--- ∫ 0 1 d x ∫ 0 x d y \int_0^1\mathrm{d}x\int_0^x \mathrm{d}y
- BP反向传播算法的思考和直观理解 -卷积小白的随机世界
https://www.toutiao.com/a6690831921246634504/ 2019-05-14 18:47:24 本篇文章,本来计划再进一步完善对CNN卷积神经网络的理解,但在对卷积 ...
- 梯度的直观理解_BP反向传播算法的思考和直观理解 -卷积小白的随机世界
本篇文章,本来计划再进一步完善对CNN卷积神经网络的理解,但在对卷积层反向传播算法的理解中,越发觉得之前对于BP反向传播算法的理解是不到位的.小白近日觉得,对于深度神经网络,"反向传播&qu ...
- MATLAB实现变限积分函数的积分/ 多重积分/ 如何解决求积分显示AB浮点标量报错
重点是要用arrayfun扩展 求变限积分的积分: fun_inner = @(r) r.^2; fun_integral = @(x) integral(fun_inner, 0,x); fun_o ...
- 不定积分是f(x)的全体原函数,而变上线积分函数是f(x)的一个具体的原函数
不定积分是f(x)的全体原函数,而变上线积分函数是f(x)的一个具体的原函数. 非常重要!!!
最新文章
- jQuery 选择器中的空格问题
- 12月碎碎念-随便聊聊这一年
- bzoj 1753: [Usaco2005 qua]Who's in the Middle【排序】
- 【测绘程序设计】高斯克吕格投影:带号及中央经度计算神器V1.0(附源程序)
- 用 @Value(“${xxxx}“)注解从配置文件读取值的用法
- Java文件路径及文件名乱码_javaweb文件下载及文件名中文乱码处理
- 将数据库表导入到solr索引
- [Study Notes][001][gstreamer] memory
- Android动态日志,一个简单的Android日志类
- SAP License:段的含义
- squid的sarg安装跟配置,版本2.3.5
- D.E.Shaw——高频统计套利交易获利41亿美元
- python 清空文件_python:文件的读取、创建、追加、删除、清空
- 常见的Wi-Fi协议------802a/b/g/n/ac系列
- IsPostBack深入探讨
- gini指数与cart 决策树
- 《惢客创业日记》2021.07.25(周日)当生日遇上套路
- aspcms标签大全
- 《信号与系统学习笔记》—线性时不变系统(一)
- vue 自定义指令v-directive