直接点击下列链接，回顾往期内容：

• R统计学(01): 伯努利分布、二项分布

• R统计学(02): 几何分布

• R统计学(03): 超几何分布

• R统计学(04): 多项分布

• R统计学(05): 泊松分布

• R统计学(06): 负二项分布

• R统计学(07): 常见数学函数

• R统计学(08): 正态分布 (一)

给定一个任意分布(均值为，标准差为)的总体，每次从这些总体中可重复地随机抽取 n个样品，一共抽 m 次， 然后把这 m组抽样分别求出平均值，则如果 n足够大，平均值将近似呈正态分布(均值为，标准差为)，这称为中心极限定理(central limit theorem, CLT)。

我们来证实这个结论。假设我们从 0到 10之间的均匀分布随机取 5个数，然后求这 5个数的平均值。当我们取到 {2,3,1,2,1}时，平均值是小的；当我们取到 {9,8,9,6,8}时，平均值是大的。当然，一般来说，平均值会接近5。我们来做 10000次，看看 10000个均值的分布是啥样的。原始数据是在 0到 10区间上呈均匀分布，如下图：

hist(runif(10000, min=0, max=10), main='')

如果从这个均匀分布中取 5个随机数，这 5个数的均值的分布会怎样呢？见下图：

means 10000)

for(i in 1:10000){

means[i] 5, min=0, max=10))

}

hist(means, ylim=c(0, 1600), main='')

很好，但这和正态分布有多接近呢？一个测试是在直方图的顶部画一个参数相同的正态分布。但是这些参数是什么呢？正态分布是一个双参数(均值和标准差)分布。我们可以从 10000个平均值的样本中估计这两个参数(由于随机性，您的值会略有不同)：

mean(means)

[1] 4.992292 ### 确实非常接近5

sd(means)

[1] 1.313824 ### 跟 sd(runif(10000, min=0, max=10))/sqrt(5) = 1.29465 也很接近

现在，我们使用正态分布的概率密度函数 dnorm()来创建一条具有特定均值和标准差的正态曲线。为了使曲线比较平滑，我们需要生成一系列 x值；从直方图来看，范围大概取从 0到 10(正好是均匀分布随机数的上下极限)比较合适。经验表明，对于一个平滑的曲线，至少需要 100个值，因此

xx 0, 10, 0.1)

只剩下一件事要做了。概率密度函数的积分为 1(即正态曲线下的面积)，但上图中直方图的总面积不为 1，总面积为 10000x0.5(组距)=5000。因此，我们要将正态分布的概率密度函数缩放到我们的特定情况，即放大到 5000乘以概率密度的高度。最后，我们在直方图上添加平滑曲线，如下图：

yy 4.992292, sd=1.313824)*5000

lines(xx, yy)

再来看个掷骰子的例子：

掷一个骰子很多次，六个数字 (1,2,3,4,5,6)中的每一个出现的频数应该差不多，也是一个均匀分布：

par(mfrow=c(2, 2))

hist(sample(1:6, replace=T, 10000), breaks=0.5:6.5, main="", xlab="one die")

现在掷两个骰子，把分数相加，这是古老的掷骰子游戏。从最低 2分到最高 12分有 11种可能的分数。最可能的分数是 7分，因为有六种可能的结果： {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}。重复很多次，我们得到以 7分数为中心的三角形分布：

a 1:6, replace=T, 10000)

b 1:6, replace=T, 10000)

hist(a+b, breaks=1.5:12.5, main="", xlab="two dice")

掷三个骰子，把分数相加，结果如何：

c 1:6, replace=T, 10000)

hist(a+b+c, breaks=2.5:18.5, main="", xlab="three dice")

正态分布的钟形开始出现。掷五个骰子，结果更接近正态分布：

d 1:6, replace=T, 10000)

e 1:6, replace=T, 10000)

hist(a+b+c+d+e, breaks=4.5:30.5, main="", xlab="five dice")

其中平滑曲线由具有相同均值和标准差的正态分布给出：

mean(a+b+c+d+e)

[1] 17.4856

sd(a+b+c+d+e)

[1] 3.819771

lines(seq(1, 30, 0.1), dnorm(seq(1, 30, 0.1), 17.4856, 3.819771)*10000)

正态分布的第二部分内容介绍就到此结束。

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