博弈问题总集第三类----Staircase Nim

这一关我们上楼梯玩。。。

阶梯博弈是这样一个模型：有一个n层的台阶，每个台阶上都放有一定数量的石子。每次每个玩家可以选取某一层上任意数量的石子移动到下一层，不能操作的人输。

嗯这个问题看起来很复杂？我们先考虑简单的，显然石子在第一层推下去的话相当于是没有了。那么我们假设所有的石子都在第一层，那这是一个先手必胜态。如果石子都在第二层呢？可以这样考虑，先手每次把多少石头推到第一层，后手就把先手推下来的石头推下去，那这就是一个先手必败态

那我们就会发现一个问题啦，偶数层的楼梯算是一个中转，用来维护奇数层石子数量不变。只有奇数层的石子个数会对胜负产生影响，当前玩家没有必要维护偶数层的状态。因为有偶数层作为中转，所以先手和后手都可以维护奇数层数目不变，即维护自己的必胜态。只考虑奇数层求出SG值即可。

1、

[HDU5996] dingyeye loves stone

题解：

这就是最简单的模型转换啦，因为每次只能把当前节点的石子移动到它的父节点上，这和台阶的模型是类似的。注意台阶的第一层还能往下推一次，但这里推到根节点就已经GG了，所以根节点相当于偶数层（因为作用在这一层上也没什么用嘛）

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=100005;
int tot,nxt[N],point[N],v[N],k,a[N];
void addline(int x,int y){++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;}
void dfs(int x,int D)
{if (D) k^=a[x];for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) dfs(v[i],!D);
}
int main()
{int T,n,x;scanf("%d",&T);while (T--){k=0; tot=0; memset(point,0,sizeof(point));scanf("%d",&n);for (int i=2;i<=n;i++){scanf("%d",&x);x++;addline(x,i);}for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);dfs(1,0);if (!k) printf("lose\n");else printf("win\n");}
}

2、

[HDU4315] Climbing the Hill

题解：

我们只需要将中间的空格看成石子就可以解决这个问题，将编号为奇数的堆看成一个一个的区间，如果某一个人移动了区间的左端点，那么下一个人就可以模仿它移动区间的右端点相同的距离，这样区间的长度没变，先手后手的顺序也没变。那么我们就可以说，只有区间的长度是有用的因素，与区间的位置无关。如果某一个人移动了区间的右端点，就相当于是从石子堆中取出了一些。
最后堆在一坨的自然是没用了，这样就等效成一个“最后一个区间是第一层”的阶梯问题
所以我们的目标状态只是将所有的区间挪成空区间，没有必要管区间的位置在哪里。并且，当所有的区间都是空区间了之后，再将它移动到山顶时，先手后手的顺序还是没有变化。
这个问题还要特别考虑一下国王，还要分类讨论一下：显然如果k=1的话先手必胜；k=2且第一个区间对这个问题有影响的时候（人数为奇数），先手后手都不希望把第一堆弄成0，因为这样对手就会获胜，所以第一堆的取值相当于少了一个， SG1−− SG_1--

代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
int a[1005],n,k;
int main()
{while (~scanf("%d%d",&n,&k)){int ww=0;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);if (k==1) {printf("Alice\n");continue;}a[0]=-1;if (k==2 && n%2) a[0]=0;for (int i=n;i>=1;i-=2) ww^=a[i]-a[i-1]-1;if (!ww) printf("Bob\n");else printf("Alice\n");}
}

3、

[HDU3389] Game

题解：

随便打几个表就可以看出所有的数推到1,3,4就推不下去了，其实题目也已经告诉我们了，那两个柿子相当于告诉我们 (A+B) % 6=3 (A+B)\ \%\ 6=3，推到134就是玩完了，不难发现那些%6=025的经过奇数次就可以达到画不动的地步，但是%6=134的一定经过偶数次推不动了，我们的奇数层找到了？

代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
int a[10005];
int main()
{int T,id=0,n;scanf("%d",&T);while (T--){int k=0;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&a[i]);if (i%6==0 || i%6==2 || i%6==5) k^=a[i];}if (k) printf("Case %d: Alice\n",++id);else printf("Case %d: Bob\n",++id);}
}

4、

[BZOJ1115] [POI2009] 石子游戏Kam

题解：

我们可以通过模仿前面的行动来维持两堆石子的差不变，并且发现我们取走前一个一部分石子，后面取的范围会更大，而且我们取走多少后面就能增加多少范围，总量不变！这是不是就像把前面的石子推到了后面？

那么后一堆-前一堆石子的数量就是我们等价的数量了，最后一堆只要在范围内，随意减少都可以，【第一层推到最下面】

题目实际上就变为了从当前堆可以拿出一些石子放到下一堆里去，最后一堆可以直接往下推。典型阶梯问题get？

代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
int a[1005],b[1005];
int main()
{int T,n;scanf("%d",&T);while (T--){int k=0;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]-a[i-1];for (int i=n;i>=1;i-=2) k^=b[i];if (k) printf("TAK\n");else printf("NIE\n");}
}