算法笔记--卢卡斯定理

Lucas定理是用来（当n和m和p很大时）求 C(n,m) mod p，p为素数的值。

表达式：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p。（可以递归）

递归方程：(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p。（递归出口为m==0，return 1）

模板：

const int N=1e5+7;
int p;
ll fac[N];
void init()
{fac[0]=1;for(int i=1;i<=p;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}
ll q_pow(ll n,ll k)
{ll ans=1;while(k){if(k&1)ans=ans*n%p;n=n*n%p;k>>=1;}return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{if(m>n)return 0;return fac[n]*q_pow(fac[m]*fac[n-m]%p,p-2)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m)
{if(m==0)return 1;return (C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p))%p;
}

例题1：451E - Devu and Flowers

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define pi acos(-1.0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const int N=1e5+7;
int p;
ll fac[N];
ll f[25];
void init()
{fac[0]=1;for(int i=1;i<=p;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}
ll q_pow(ll n,ll k)
{ll ans=1;while(k){if(k&1)ans=ans*n%p;n=n*n%p;k>>=1;}return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{if(n<m)return 0;if(n-m<m)m=n-m;ll s1=1,s2=1;for(int i=0;i<m;i++) {s1=s1*(n-i)%p;s2=s2*(i+1)%p;}return s1*q_pow(s2,p-2)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m)
{if(m==0)return 1;return (C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p))%p;
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);p=1e9+7;ll n,s;cin>>n>>s;for(int i=0;i<n;i++)cin>>f[i];ll ans=0;for(int i=0;i<(1<<n);i++){ll sum=s,sign=1;for(int j=0;j<n;j++){if(i&(1<<j)){sum-=f[j]+1;sign=-sign;}}if(sum<0)continue;ans+=sign*lucas(sum+n-1,n-1);ans%=p;}cout<<(ans+p)%p<<endl;return 0;
}

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