2021 BNU Winter Training 9 (The 14th Chinese Northeast Collegiate Programming Contest)

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A. Micro Structure Thread

这道题题解都搜不到啊，但是听说可以转化为最小生成树

B. Team

网络流

C. Liner vectors

要求构造一个 N * N 的矩阵，矩阵的每个元素都由0或1构成。矩阵的每一行元素之和都是K。要求这个矩阵的任意一个行向量不能被其他若干向量异或表示出来。
线性基，其实就是要求这个矩阵的秩为N
观察样例，其实有一个很简单的方法（N = 5, K = 3）
(0011101011011010111010011)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛0000101110101101101111101⎠⎟⎟⎟⎟⎞
你会发现，前 K + 1 行在右侧构成了一个 (K+1)×(K+1)(K + 1) \times(K + 1)(K+1)×(K+1) 的矩阵，类似于对角矩阵，不过对角线是0，其他元素是1. 然后剩下 K + 2 ~ N 行，每行最前面只填1个1. 最后 K−1K - 1K−1 个数也填1. 这样子，显然，当K为奇数时，前 K + 1 行是线性无关的（每行每列都有奇数个1，异或起来一定不是0）。K+2K + 2K+2 ~ NNN 行是阶梯型矩阵反过来了，也是线性无关的。而前后两部分也是线性无关的。
至于不合法情况，显然 N == K 时是不合法的。然后若 K 为偶数，那么全部列异或起来一定是0，也不合法。
这个构造方法是真的巧妙啊。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
ll a[70];
int main() {int T;scanf("%d", &T);while (T--) {int N, K;scanf("%d%d", &N, &K);if (N == 1) printf("1\n");else if (N == K || K % 2 == 0) printf("-1\n");else {for (int i = 0; i < K + 1; i++) {a[i] = (1LL << K + 1) - 1;a[i] ^= (1LL << (K - i));}for (int i = K + 1; i < N; i++) {a[i] = (1LL << (K - 1)) - 1;a[i] ^= (1LL << i);}for (int i = 0; i < N; i++) {printf("%llu%c", a[i], i + 1 == N ? '\n' : ' ');}}}return 0;
}

D. PepperLa’s String

题意：给字符串可以删去一个字符,可以把连续的字符替换成字符加十六进制数,求压缩后的字符串最短前提下，压缩后字符串的字典序最小。
分类讨论的情况很多，容易漏。

推荐题解

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int maxn = 1000010;
char str[maxn], ch[maxn];
int tot[maxn], n, m;
string dec_to_hex(int x) {//注意进制转换最好写成 do-while 的形式，用while的话可能会让无法转换0.string res;do {int xx = x % 16;res += (xx >= 10) ? (xx - 10 + 'A') : (xx + '0');x /= 16;} while (x);reverse(res.begin(), res.end());return res;
}
void solve() {n = strlen(str);m = 0;//如果只有一个字符，那么什么也不输出if (n == 1) return;//先统计有多少个连续字母for (int i = 0, cnt; i < n; i++) {if (i == 0 || str[i] != str[i - 1]) {cnt = 1;}else cnt++;if (i == n - 1 || str[i] != str[i + 1]) {//每一段相同的字母信息存进ch和tot里面ch[m] = str[i];tot[m] = cnt;m++;}}//del_pos 表示要删除字母的位置。del_pos = 0 表示字符串长度不能减小/*三种字符串长度会变小的情况，贪心策略如下（1）只有1个字符，删去之后为空。这时若 s[i] > s[i + 1] 就选择它 (break)，否则就往后继续找（2）两个字符，删掉变成一个字符，由于ASCII: 数字 < 字母，因此只有它是最后一个字母时才选择（3）十六进制下，100... 减一变成 FF... 因此只有是最后一个字母时才选择它*/int del_pos = 0;for (int i = 0; i < m; i++) {if (tot[i] == 1) {del_pos = i;if (i == m - 1 || ch[i] > ch[i + 1]) break;}else if (tot[i] == 2 || dec_to_hex(tot[i]).size() > dec_to_hex(tot[i] - 1).size()) {del_pos = i;}}//for (int i = 0; i < m; i++) {//  printf("%c %d %s\n", ch[i], tot[i], dec_to_hex(tot[i]).c_str());//}tot[del_pos]--;for (int i = 0; i < m; i++) {if (tot[i] == 0) continue;cout << ch[i];if(tot[i] > 1) cout << dec_to_hex(tot[i]);}cout << endl;
}
int main() {while (cin >> str) {solve();}return 0;
}
/*
aabbbbbbbbbbbbbbbbb
aabbbbbbbbbbbbbbbb
aaacccccccccc
aaabaaa
abcdef
*/

E. PepperLa’s Cram School

F. PepperLa’s Boast

从 (1,1)(1, 1)(1,1) 走到 (N,M)(N, M)(N,M), 一步可以走三个方向,每次可以走一步（不可以走到 aij≤0a_{ij} \le 0aij≤0 的地方），也可以消耗 U 走最多 K 步（可以少于K步）,求到终点最大值。
只有 a(i,j)>0a(i, j) > 0a(i,j)>0 才更新 f(i,j)f(i, j)f(i,j)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<deque>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
typedef long long ll;
ll a[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
ll N, M, K, U;
deque<int> col[maxn];
typedef pair<ll, int> P;
void update(ll& x, const ll& y) {if (x < y) x = y;
}
void solve() {for (int j = 1; j <= M; j++) col[j].clear();deque<P> row;f[1][1] = a[1][1];for (int i = 1; i <= N; i++) {row.clear();for (int j = 1; j <= M; j++) {while (col[j].size() && col[j].front() < i - K) col[j].pop_front();while (row.size() && row.front().second < j - K) row.pop_front();if (a[i][j] > 0) {// 走一步，不憋气if (f[i - 1][j] != -1) update(f[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);if (f[i][j - 1] != -1) update(f[i][j], f[i][j - 1] + a[i][j]);if (f[i - 1][j - 1] != -1) update(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + a[i][j]);// 从某一个远地方憋着气到这个地方// 首先更新当前小矩阵的最大值if (col[j].size()) {while (row.size() && row.back().first <= f[col[j].front()][j]) row.pop_back();row.push_back({ f[col[j].front()][j], j });}//然后更新憋气到这个地方if (row.size()) {update(f[i][j], row.front().first + a[i][j] - U);}//因为要把 f[i][j] 更新这个小矩阵。因此如果上面更新了，要把更新的col弄出来if (col[j].size()) row.pop_back();}//更新小矩阵的值//先更新列滑动窗口if (f[i][j] >= U) {while (col[j].size() && f[col[j].back()][j] <= f[i][j]) col[j].pop_back();col[j].push_back(i);}//再更新行滑动窗口if (col[j].size()) {while (row.size() && row.back().first <= f[col[j].front()][j]) row.pop_back();row.push_back({f[col[j].front()][j], j});}}}cout << f[N][M] << endl;
}
int main() {memset(f, -1, sizeof f);while (cin >> N >> M >> K >> U) {for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 1; j <= M; j++) {scanf("%lld", &a[i][j]);f[i][j] = -1;}}solve();}}

G. PepperLa’s Express

题意：题意是有一些快递点和一些用户,一个用户的代价是到最近快递点的曼哈顿距离。要求增加一个快递点最小化用户代价的最大值。题目中的 “minimal dilivery time” 指的是求最小化的最大时间，而不是求最小时间。
首先，我们可以根据 FloudFillFloud\ FillFloud Fill 模型（建立虚拟源点）求出每一个user到所有dilivery station的最近距离。
我们设想的是，二分答案。然后大于二分结果的，我们看能否将所有的点都小于等于答案。二分的原因在于，我们可以在 O(1)O(1)O(1) 的时间内求出某个点到某些点的最大值。因此，我们要找到哪些点不满足条件。
曼哈顿距离可以拆成这个样子，因为我们只关注所有点到 (xi,yi,zi)(x_i, y_i, z_i)(xi,yi,zi) 的最大值。因此要取两次 maxmaxmax，因此，我们只需找到后面 (±xj,±yj,±zj)(\pm x_j,\pm y_j,\pm z_j)(±xj,±yj,±zj) 每一项的最大值即可，就是这个样子

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn = 110;
char mz[maxn][maxn][maxn];
int dx[] = { 1, -1, 0, 0, 0, 0 }, dy[] = { 0, 0, 1, -1, 0, 0 }, dz[] = { 0, 0, 0, 0, 1, -1 };
int op[] = { 1, -1 };
int dist[maxn][maxn][maxn];
int X, Y, Z;
int mmax[8];
struct P {int z, x, y;
};
void bfs() {queue<P> que;for (int z = 1; z <= Z; z++) {for (int x = 1; x <= X; x++) {for (int y = 1; y <= Y; y++) {if (mz[z][x][y] == '@') {dist[z][x][y] = 0;que.push({ z, x, y });}else dist[z][x][y] = -1;}}}while (que.size()) {auto u = que.front(); que.pop();int z = u.z, x = u.x, y = u.y;for (int i = 0; i < 6; i++) {int zz = z + dz[i], xx = x + dx[i], yy = y + dy[i];if (zz < 1 || zz > Z || xx < 1 || xx > X || yy < 1 || yy > Y) continue;if (dist[zz][xx][yy] >= 0) continue;dist[zz][xx][yy] = dist[z][x][y] + 1;que.push({ zz, xx, yy });}}
}
bool check(int m) {memset(mmax, -0x3f, sizeof mmax);int cnt = 0;for (int z = 1; z <= Z; z++) {for (int x = 1; x <= X; x++) {for (int y = 1; y <= Y; y++) {// 要选出 距离大于m 的 用户if (dist[z][x][y] <= m || mz[z][x][y] != '*') continue;cnt++;for (int i = 0; i < 8; i++) {mmax[i] = max(mmax[i], -(op[i & 1] * z + op[(i >> 1) & 1] * x + op[(i >> 2) & 1] * y));}}}}//容易忽视这个特殊条件的判定if (cnt == 0) return true;for (int z = 1; z <= Z; z++) {for (int x = 1; x <= X; x++) {for (int y = 1; y <= Y; y++) {int res = -1;if (mz[z][x][y] == '.') {for (int i = 0; i < 8; i++) {res = max(res, mmax[i] + z * op[i & 1] + x * op[(i >> 1) & 1] + y * op[(i >> 2) & 1]);}if (res <= m) return true;}}}}return false;
}
void solve() {bfs();int l = 0, r = X + Y + Z;while (r > l) {int mid = (l + r) / 2;//小心二分别写错了呀if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}printf("%d\n", l);
}
int main() {while (cin >> Z >> X >> Y) {for (int z = 1; z <= Z; z++) {for (int x = 1; x <= X; x++) {scanf("%s", mz[z][x] + 1);}}solve();/*for (int i = 1; i <= X; i++) {for (int j = 1; j <= Y; j++) {printf("%d ", dist[1][i][j]);}printf("\n");}*/}return 0;
}

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