简单典型二阶系统_【文献选译】二阶弹性波动方程PML的简单实现
A simple implementation of PML for second-order elastic wave equations
Mingwei Zhuang(厦门大学)
Qiwei Zhan(杜克大学)
Jianyang Zhou(厦门大学)
Zichao Guo(厦门大学)
Na Liu(厦门大学)
Qing Huo Liu(杜克大学)
刊载:2019.08.13
地球物理局 地震波场模拟实验室 边界条件组 译
Zhuang, M., Zhan, Q., Zhou, J., Guo, Z., Liu, N., & Liu, Q. H. (2019). A simple implementation of PML for second-order elastic wave equations. Computer Physics Communications, 106867. doi:10.1016/j.cpc.2019.106867
摘 要
在模拟弹性波在无界空间中的传播时,标准完全匹配层(PML)对于一阶偏微分方程(PDEs)而言简单直接;相比之下,PML需要以二阶PDE的形式对控制方程进行大量的重构,但由于内存和时间消耗少得多,这种方法更可取。因此,探索一种二阶系统PML的简单实现势在必行。在本研究中,我们首先系统地将一阶近似PML(NPML)技术推广到二阶系统,用谱元法和时域有限差分算法实现。它具有以下优点:通过保持基于二阶PDE的控制方程基本相同,使得实现简单;通过引入一组辅助常微分方程(ODEs)来提高计算效率。在数学上,这种PML技术有效地混合了二阶PDEs和一阶ODEs,并在局部衰减了输出波,从而有效地避免了空间或时间上的全局卷积。数值实验表明,二阶PDE的NPML在吸收精度、实现复杂度、计算效率等方面对弹性、非弹性和各向异性介质都有很好的吸收性能。
1 引 言
2 控制方程
在非均匀弹性各向异性介质中,三维笛卡尔坐标下的线性波动方程为:
本构关系为:
应变的定义为:
其中
然而,非弹性波的衰减通常由一个被称为品质因子的无量纲参数
[1][2]:
3 二阶波动方程的PML
3.1 标准完全匹配层
我们首先简要回顾一下笛卡尔坐标系中的标准PML。为了得到给定波动方程的PML公式,基于PML区域复坐标伸展的概念引入复坐标。将复坐标中的方程转化为原始的笛卡尔坐标[3]得到:
其中
[3]:
其中
[4],而
[3]。
对(1)-(3)式进行傅里叶变换,然后利用复坐标拉伸变换空间坐标。由于外源力在PML区域应该是零,所以我们有:
注意指标
为了得到仅基于位移场的时域PML公式,我们需要对上述公式进行重新表述,将等式(12a)两边同时乘以
其中
[5]的方法,
[5]式(18))。因此,对于二阶位移波动方程,标准PML不容易实现。为了将PML技术引入二阶系统,需要对现有的数值方法进行大量的重构。
3.2 近似完全匹配层
根据Cummer[6],NPML的想法是将复伸展函数直接从空间偏导数外部偏移到物理场中。由于复伸展函数随空间变化,所以这种变化是不严格正确的,但这种变化并不会显著影响NPML的性能。因此,式(12)需要重写成NPML公式的形式,变为:
接下来,我们将证明NPML与标准PML基本等价。将式(14)两端乘以
注意,我们总能找到两个与式(15)右端的空间偏导数无关的伸展坐标函数。然后我们可以重构NPML公式为:
将(16)与(12)比较,我们发现除了NPML区域的所有物理场都乘以三个方向的拉伸坐标函数外,它们的表达式是相似的。差别在于,标准PML是PML区中的
其中
通过引入18个辅助变量,式(18)可以在NPML层中简单地求解。
【未完待续】
[7]
封面图来源[8]
参考
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