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风险资产的最优组合公式及说明

不管三七二十几，先给出公式：
ω=[E(r1)−rf]σ22−[E(r2)−rf]ρσ1σ2[E(r1)−rf]σ22+[E(r2)−rf]σ12−[E(r1)−rf+E(r2)−rf]ρσ1σ2\omega=\dfrac{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2+[E(r_2)-r_f]\sigma_1^2-[E(r_1)-r_f+E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}ω=[E(r1)−rf]σ22+[E(r2)−rf]σ12−[E(r1)−rf+E(r2)−rf]ρσ1σ2[E(r1)−rf]σ22−[E(r2)−rf]ρσ1σ2
公式应用场景：
       首先，你要对Harry M. Markowitz（马科维兹）的均值——方差模型表示肯定。
       其次，你的资产组合仅仅包括两种风险资产和一种无风险资产，而且你要知道两种风险资产的期望收益率、风险和相关系数，还要知道无风险资产的预期收益率。
       那么，根据Harry M. Markowitz的资产组合理论，我们可以得到类似于下面的这幅图，图中曲线为两种风险资产的组合情况，曲线上不同的点代表了投资两种资产的不同比重；图中直线为无风险资产和风险资产相组合情况，其与纵坐标相交的点所代表的预期收益率为无风险利率（这里为6%）。
       如果经过点T的直线与曲线只交于一点T，则说明我们找到了最有效资产组合的风险资产组合，而T点对应的特定风险资产的组合称为风险资产的最优组合。
       我们要做的就是找到这个T点，从而得到最有效资产组合，而找到T点也就意味着要知道两种资产组合在投资中分别所占的比重，即求ω\omegaω。
原因我就不解释了，能点进来的应该都懂，绝不是因为我懒得写

图片来源：《金融学（第二版）》（博迪著）

公式参数说明：

参数	说明
ω\omegaω	风险资产1在风险资产组合中的权重（投资比例）
E(r1)E(r_1)E(r1)	风险资产1的预期收益率
E(r2)E(r_2)E(r2)	风险资产2的预期收益率
rfr_frf	无风险资产的预期收益率
σ1\sigma_1σ1	风险资产1的风险（标准差）
σ2\sigma_2σ2	风险资产2的风险（标准差）
ρ\rhoρ	风险资产1和风险资产2的相关系数

风险资产的最优组合公式证明

重中之重来了，大部分的书上和网络上都只有这个公式本身，却没有证明过程，主要因为证明过程非常恶心和繁琐，那我就在这里证明一下，不想自己动手又想知道证明过程的人千万不要错过。
       首先，让我们思考一个问题，当一条固定截距的直线与一个如图所示曲线相交时，切点处必然斜率最大，而斜率越大意味资产组合的风险每上升固定数值，可以得到的预期收益率的上升越大，那么在切点处我们可以获得最有效资产组合，即T点。
       在公式证明之前先引入三个没出现过的参数，E(rN)E(r_N)E(rN)为N点(任意一点）代表的风险投资组合的预期收益率，σN\sigma_NσN为N点代表的风险投资组合的风险（标准差），kkk为该直线的斜率。我们可以根据之前所学的知识得出：
E(rN)=ωE(r1)+(1−ω)E(r2)E(r_N)=\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)E(rN)=ωE(r1)+(1−ω)E(r2)
σN=ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)\sigma_N=\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}σN=ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)
       假设直线与曲线交于N点，则
k=E(rN)−rfσN=ωE(r1)+(1−ω)E(r2)−rfω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)k=\dfrac{E(r_N)-r_f}{\sigma_N}=\dfrac{\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)-r_f}{\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}}k=σNE(rN)−rf=ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)ωE(r1)+(1−ω)E(r2)−rf
       我们的目的是要使得kkk的值最大，即
k=kmax=E(rT)−rfσTk=k_{max}=\dfrac{E(r_T)-r_f}{\sigma_T}k=kmax=σTE(rT)−rf
       也就是说在kkk对ω\omegaω求导后使得导函数结果为0的ω\omegaω就是T点的ω\omegaω（kkk为ω\omegaω的函数）：
dkdω=[E(r1)−E(r2)]ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)−[ωE(r1)+(1−ω)E(r2)−rf][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+ρσ1σ2−σ22]ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)=0\scriptsize \dfrac{dk}{d\omega}=\dfrac{[E(r_1)-E(r_2)]\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}-\dfrac{[\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)-r_f][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2]}{\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}}}{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}=0dωdk=ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)[E(r1)−E(r2)]ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)−ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)[ωE(r1)+(1−ω)E(r2)−rf][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+ρσ1σ2−σ22]=0
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[E(r1)−E(r2)]ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)−[ωE(r1)+(1−ω)E(r2)−rf][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+ρσ1σ2−σ22]ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)=0\footnotesize [E(r_1)-E(r_2)]\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}-\dfrac{[\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)-r_f][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2]}{\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}}=0[E(r1)−E(r2)]ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)−ω2σ12+(1−ω)2σ22+2ρσ1σ2ω(1−ω)[ωE(r1)+(1−ω)E(r2)−rf][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+ρσ1σ2−σ22]=0
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[E(r1)−E(r2)][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω2+(2ρσ1σ2−2σ22)ω+σ22]−[(E(r1)−E(r2))ω+E(r2)−rf][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+ρσ1σ2−σ22]=0\scriptsize [E(r_1)-E(r_2)][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega^2+(2\rho\sigma_1\sigma_2-2\sigma_2^2)\omega+\sigma_2^2]-[(E(r_1)-E(r_2))\omega+E(r_2)-r_f][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2]=0[E(r1)−E(r2)][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω2+(2ρσ1σ2−2σ22)ω+σ22]−[(E(r1)−E(r2))ω+E(r2)−rf][(σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+ρσ1σ2−σ22]=0
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[E(r1)−E(r2)](ρσ1σ2−σ22)ω−[E(r2)−rf](σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+[E(r1)−E(r2)]σ22−[E(r2)−rf](ρσ1σ2−σ22)=0\footnotesize [E(r_1)-E(r_2)](\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2)\omega-[E(r_2)-r_f](\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+[E(r_1)-E(r_2)]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f](\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2)=0[E(r1)−E(r2)](ρσ1σ2−σ22)ω−[E(r2)−rf](σ12+σ22−2ρσ1σ2)ω+[E(r1)−E(r2)]σ22−[E(r2)−rf](ρσ1σ2−σ22)=0
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[(E(r1)+E(r2)−2rf)ρσ1σ2−(E(r1)−rf)σ22−(E(r2)−rf)σ12]ω+[E(r1)−rf]σ22−[E(r2)−rf]ρσ1σ2=0[(E(r_1)+E(r_2)-2r_f)\rho\sigma_1\sigma_2-(E(r_1)-r_f)\sigma_2^2-(E(r_2)-r_f)\sigma_1^2]\omega+[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2=0[(E(r1)+E(r2)−2rf)ρσ1σ2−(E(r1)−rf)σ22−(E(r2)−rf)σ12]ω+[E(r1)−rf]σ22−[E(r2)−rf]ρσ1σ2=0
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ω=[E(r1)−rf]σ22−[E(r2)−rf]ρσ1σ2[E(r1)−rf]σ22+[E(r2)−rf]σ12−[E(r1)−rf+E(r2)−rf]ρσ1σ2\omega=\dfrac{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2+[E(r_2)-r_f]\sigma_1^2-[E(r_1)-r_f+E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}ω=[E(r1)−rf]σ22+[E(r2)−rf]σ12−[E(r1)−rf+E(r2)−rf]ρσ1σ2[E(r1)−rf]σ22−[E(r2)−rf]ρσ1σ2

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