文章前后关联性较强，后文都是在前文的几何概念上展开。建议顺序阅读

文章目录

什么是基变换
- 将她的基表示的坐标转换成自己的基表示
- 将自己的基表示的坐标转换成她的基表示
- 非自己的基的坐标系进行线性变换
- - 矩阵的线性变换有作用范围
  - 视角的转化
什么是特征向量和特征值
- 一种特殊的性质和特征向量
- 特征向量的几何意义
- 特征向量中计算
- 特征基
- 构成含特征基的线性变换

什么是基变换

核心在于：基的变换，就是通过矩阵进行的视角切换。

ps: 下文用别人的基（非默认基）和自己的基（默认基）来区分两套不同坐标系的基。

将她的基表示的坐标转换成自己的基表示

用自己的视角去看她的视角下的坐标的表示，使用自己视角下她的基向量组成的矩阵对她的向量进行线性变换就好

总结一下：通过自己的基表示她的基向量作为矩阵A，可以将她的基表示的坐标翻译成自己的基表示的坐标

将自己的基表示的坐标转换成她的基表示

用她的视角看自己的视角下的坐标的表示，将上面的程序反过来（通过A的逆矩阵A^-1）对自己的向量进行线性变换就好

总结：通过A^-1，可以将自己的基表示的坐标翻译成她的基表示的坐标

非自己的基的坐标系进行线性变换

矩阵的线性变换有作用范围

首先先来看看自己的基的线性变换。我们的矩阵追踪记录的都是自己基，因此该矩阵只能对自己基的坐标系进行线性变换，而不能直接对别人的基坐标系进行线性变换

视角的转化

注意：A^-1MA 暗示着一种数学上的转移作用。M是你想进行的转移，而A,A^-1则有视角转化的作用。矩阵的转换仍是同一种变换（只不过是转化了角度，是在其它基的坐标系上进行的转换）

什么是特征向量和特征值

在以上所有知识的基础上，我们着手解决这个大问题。

一种特殊的性质和特征向量

有些向量在经过线性变换后，它留在原来向量张成的空间里。即线性变换对它来说仅仅就是一种缩放。

有这样特殊性质的向量就是特征向量

而每一个特征向量被缩放的比例就是特征向量的特征值

特征向量的几何意义

特征向量就是旋转轴！他能让你不过多依赖坐标系地去理解矩阵所代表的线性变换（若单单从基向量缩放去理解线性变换往往过度依赖坐标系）

特征向量中计算

计算时，将右边的 λ 常量化成 λ对角矩阵，使式子左右两边形式一致
即 Av = ( λI )v，形式转换后就有（A - λI )v = 0
这样一来我们需要矩阵（A - λI ) 能将 v压缩至原点（零空间），故需要由det(（A - λI )) = 0来求出λ，后求出满足条件的v

可能出现的情况：

无特征值。如90°翻转
单个特征值单个特征向量。如剪切变换
单个特征值多个特征向量。如坐标系全体倍增两倍变换
多个特征值多个特征向量

特征基

当基向量为特征向量时称之为特征基（即基仅在原有的方向上进行缩放）

含特征基的线性变换，矩阵表示出来就是一个对角矩阵，矩阵的对角元是特征值。
换句话说：对角矩阵表示的是含特征基的线性变换

选用特征基构成的对角矩阵在计算时有极大的优势：

构成含特征基的线性变换

而当你有多个特征向量时，将原来的基转换为以特征向量为基，那么线性变换就成为了含特征基的变换。

因此为了使得线性变换称为含特征基的线性变换，我们使用基的A^-1MA转换式中，易知最后的结果一定是个对角矩阵

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