债券属性「久期」的本质是什么？

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下面我会先介绍两个“久期”相关的前导知识，然后展开讲述“久期”。

一、前导知识：债券的生命轨迹

购买债券获得收益的基本过程很简单：

1、一开始投入了一笔钱，买入债券；

2、按照债券票面的约定，定期给我利息；

3、等到债券到期，会将本金连同最后一期的利息一并给我。

现在假设我花1000元买了个债券。按照这支债券的约定，债券期限为4年，每年给我利息10元，最后1年将本金连同最后一期的利息一并给我。

我们在一个时间轴上把债券的生命轨迹画下来：

好啦，注意上面这个“时间轴”，后面我们讲解时会经常用到它。

二、前导知识：钱的时间价值

你手里有1000块钱，假设1年定期存款的利率是2%，那么存成定期存款后，1年后你会有1020元（为了简化，所以省略了政策风险和息税，直接本金乘以利率了）。

也就是说，你手上的1000块，不做任何理财、股票投资、债券投资……至少至少会变成1020块。

所以，随着时间的延长，你手里的钱是必然会增加的。

钱的时间价值也就从这里体现出来了。

好了，现在稍微复杂一些，我们倒过来想想，如果1年后我预计会有100块收入，那未来这100块按照2%的利率倒算至现在，应该是多少钱呢？

假设倒算至现在的钱数是X，那么X $\times$ (1+2%)=100（元），解出X约为98元。

所以，如果你预计1年后能拿到100块，其实这笔钱算到现在也就值98块钱。

或者说换一种说法，你1年后能拿到的100块，其实与你今天的100块是不一样的，它只相当于今天的98块。

这个X（X＝100/（1+2%）），在金融中有个专门的名词，叫做：现值（现在的价值），用字母PV表示（Present Value），而这个2%，就称为：折现率！

好了再复杂一点，如果假设2年的定期存款利率也是2％，那么100元存2年，拿到的本息就是：

100 $\times$ （1+2% $)^2$

那么，继续假设：我两年后会收到100元，这100元折算成现在的现值PV是多少呢？

聪明如你肯定已经想到了，是：PV=100/（1+2% $)^2$

3年、4年的情况也就不赘述了。

最后，再复杂一点！

举上面债券的例子：

假设银行定期存款存多少年都是2%的年利率。那么，我买了上面这只债券，第一年会收到10元，第二年会收到10元，第三年会收到10元，第四年会收到1010元。我预计收到的这些钱，折成现值是多少钱呢？

现值PV＝10/（1+2%）＋10/（1+2% $)^2$ ＋10/（1+2% $)^3$ +1010/(1+2% $)^4$

三、麦考雷久期

有点小兴奋，进入正题了。

要理解麦考雷久期的本质，就需要先理解债券的本质。

我们在第一节简单讲过债券：我在期初投入一笔钱买债券，定期会收到回款（利息），最后发债人将我的本金和最后1期利息都还给我。

所以购买债券，我们主要会关注两个事情，一是每期还多少钱，二是多长时间还完（为了简单，一些债券信用风险方面的事情我们不再考虑了）。

对于第一件事情，债券票面就已经说明了每年会还多少利息。承诺的利息越高，回款金额也就越多；

对于第二件事情，用什么来衡量呢？这时麦考雷久期闪亮登场了。麦考雷久期的定义是：使用加权平均数的形式计算债券的平均回款时间。怎么理解呢？

首先，我们来看两个债券：

债券一是上文中提到的债券。债券二则是一个新债券，这个债券有点特殊，按照这支债券的约定，第1-3年并不支付利息，直到第4年连本带利结清。

这两个债券，后面回款的金额加总后都是1040，那么如果你是一个投资者，你会买哪个呢？

冥冥中，你选择了第一个……

为什么你不选择第二个？第六感告诉你，资金早早落袋为安最好。第一个债券每年能拿回10元，而第二个债券直到最后1年才能见着钱。我当然选择第一个债券了！

但是，这种“定性”的判断并不精准，因为下面这种情况你就无所适从了：

可以看到，上面两个债券中，第二个债券是两年付一次利息，与上面那只一年付一次利息的债券相比，第一年回款少、第二年回款多、第三年回款少、第四年回款多……

这种情况下选哪个债券投资合适呢？！崩溃！！！

所以，我们需要用麦考雷久期对回款时间进行“定量”的更加精准的测算。

从麦考雷久期的定义，我们了解到它是衡量债券回款时间的指标。那债券的回款时间怎么计算呢？我们就来研究一下下面这个债券的回款时间：

这支债券，我们总共用了4年时间进行回款，并且，总共回款了1040元。

我们用了1年的时间回款了1040元中的10元（见下图），所以我们把这1年加一个权重 $\frac{10}{1040}$ 。

我们用了2年的时间回款了1040元中的10元（见下图），所以我们把这2年加一个权重 $\frac{10}{1040}$ 。

我们用了3年的时间回款了1040元中的10元（见下图），所以我们把这3年加一个权重 $\frac{10}{1040}$ 。

我们用了4年的时间回款了1040元中的1010元（见下图），所以我们把这4年加一个权重 $\frac{1010}{1040}$ 。

好了，有了上面的分析，那么这个回款的总时间为多少呢？很显然，回款总时间为：

1年 $\times$ $\frac{10}{1040}$ ＋2年 $\times$ $\frac{10}{1040}$ ＋3年 $\times$ $\frac{10}{1040}$ ＋4年 $\times$ $\frac{1010}{1040}$ $\approx$ 3.9423年

讲到这里，计算回款时间的逻辑你是否已经清楚了？

然而！

这真的是准确的回款时间吗？！

别忘了，前面提到了钱是有时间价值的。

所以，这里的计算稍稍有些不准确了！回顾前面我们讲的钱的时间价值，第一年的10元、第二年的10元、第三年的10元，他们的实际价值并不相等，这就造成了上面“年数 $\times$ 权重”中的权重不够准确。如何将它修正准确呢？

我们把所有年份的回款，全部折算成“现在”这个时点的现值，问题就迎刃而解了。

因为这样所有的钱都还原到了同一时间点，才具有可比性：

在这个背景下，我们先计算出回款总金额的现值PV（假设折现率为2%）：

PV＝10/（1+2%）＋10/（1+2% $)^2$ ＋10/（1+2% $)^3$ +1010/(1+2% $)^4$

然后，我们开始逐年分析：

我们用了1年的时间回款了10元，这10元的现值是10/（1+2%），所以准确的权重为：

$\frac{10/(1+2\%)}{PV}$

我们用了2年的时间回款了10元，这10元的现值是10/（1+2% $)^2$ ，所以准确的权重为：

$\frac{10/(1+2\%)^2}{PV}$

我们用了3年的时间回款了10元，这10元的现值是10/（1+2% $)^3$ ，所以准确的权重为：

$\frac{10/(1+2\%)^3}{PV}$

我们用了4年的时间回款了1010元，这1010元的现值是10/(1+2% $)^4$ ，所以准确的权重为：

$\frac{1010/(1+2\%)^4}{PV}$

所以，最后我们终于可以得到准确的回款时间了，它是：

1年 $\times$ $\frac{10/(1+2\%)}{PV}$ ＋2年 $\times$ $\frac{10/(1+2\%)^2}{PV}$ ＋3年 $\times$ $\frac{10/(1+2\%)^3}{PV}$ ＋4年 $\times$ $\frac{1010/(1+2\%)^4}{PV}$ $\approx$ 3.9396年

好了，我们把上面这个准确回款时间的公式提炼一下，就变成：

其中，权重 $W_{t}$ 为

上面公式中的回款时间D，就是麦考雷久期。看到其他答案中还有英文版的公式解读，引用一下，也非常清楚：

我相信讲到现在，你应该已经理解“麦考雷久期”的本质了。

最后，如果有兴趣，你可以用麦考雷久期比较一下这两个债券，哪个回款时间更短、更值得投资～