待分析命题：出自P63

可测集上的连续函数一定可测。

分析过程

设EEE是一个可测集，fff是EEE上的一个连续函数。由课本P34的定理1.25，对于任意实数aaa，存在开集Ga⊂Rn{{G}_{a}}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}Ga⊂Rn，使得
E(f>a)=Ga∩E,E\left( f>a \right)={{G}_{a}}\cap E,E(f>a)=Ga∩E,
其中Ga{{G}_{a}}Ga具有形式
Ga=⋃x∈EB(x,δ(x,a)).{{G}_{a}}=\bigcup\limits_{x\in E}^{{}}{B\left( x,\delta \left( x,a \right) \right)}.Ga=x∈E⋃B(x,δ(x,a)).
由于单个开球B(x,δ(x,a))B\left( x,\delta \left( x,a \right) \right)B(x,δ(x,a))本身是开集，而根据课本P26的定理1.17，任意个开集的并是开集，结合Ga{{G}_{a}}Ga的表达式，因此有
Ga是开集。{{G}_{a}}是开集。Ga是开集。
再根据课本P52的推论，任意开集都是可测集，因此有
Ga是可测集。{{G}_{a}}是可测集。Ga是可测集。
又EEE是可测集，根据课本P49的定理2.2（i），有
Ga∩E是可测集，{{G}_{a}}\cap E是可测集，Ga∩E是可测集，
也就有
E(f>a)=Ga∩E可测，∀a∈R.E\left( f>a \right)={{G}_{a}}\cap E可测，\forall a\in \mathbb{R}.E(f>a)=Ga∩E可测，∀a∈R.
从而由课本P59的定义3.1，连续函数fff确实一定在可测集EEE上可测。

涉及到的引理

P34，定理1.25

若函数fff在点集E⊂RnE\subset {{\mathbb{R}}^{n}}E⊂Rn上连续，则对于任意实数aaa，存在开集Ga⊂Rn{{G}_{a}}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}Ga⊂Rn，使得E(f>a)=Ga∩EE\left( f>a \right)={{G}_{a}}\cap EE(f>a)=Ga∩E。

P26，定理1.17

任意个开集的并是开集。

P52，推论

任意开集和闭集都是可测集。

P49，定理2.2（i）

若E1∈M{{E}_{1}}\in \mathscr{M}E1∈M，E2∈M{{E}_{2}}\in \mathscr{M}E2∈M，则E1∪E2{{E}_{1}}\cup {{E}_{2}}E1∪E2，E1∩E2{{E}_{1}}\cap {{E}_{2}}E1∩E2，E1\E2{{E}_{1}}\backslash {{E}_{2}}E1\E2皆属于M\mathscr{M}M，其中M\mathscr{M}M是全体可测集组成的集合。

P59，定义3.1

设E⊂RnE\subset {{\mathbb{R}}^{n}}E⊂Rn可测，fff是定义于EEE上的广义实值函数。若对于任意实数aaa，点集{x∣x∈E,f(x)>a}\left\{ x|x\in E,\text{ }f\left( x \right)>a \right\}{x∣x∈E, f(x)>a}是Rn{{\mathbb{R}}^{n}}Rn内的可测集，则fff称为EEE上的Lebesgue可测函数，简称fff是EEE上的可测函数，或fff在EEE上可测。

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