元素形式展示初等变换与初等矩阵的关系

矩阵的初等变换与初等矩阵的关系, 概括来说就是: 左行右列. 也就是说左乘初等矩阵进行的是行初等变换;而右乘初等矩阵进行的是列初等变换.

假设
Am×n=(a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2...ajn............am1am2...amn)A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix} Am×n=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a11...ai1...aj1...am1a12...ai2...aj2...am2.....................a1n...ain...ajn...amn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
那么具体有如下几种情况:

AE(i,j(c))=(a11...a1i...a1j+ca1i...a1na21...a2i...a2j+ca2i...a2n.....................am1...ami...amj+cami...amn)AE(i,j(c))=\begin{pmatrix} a_{11}& ... & a_{1i} & ... & a_{1j}+ca_{1i} & ... & a_{1n} \\ a_{21}& ... & a_{2i} & ... & a_{2j}+ca_{2i} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... &... & ... & ... \\ a_{m1}& ... & a_{mi} & ... & a_{mj}+ca_{mi} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix} AE(i,j(c))=⎝⎜⎜⎛a11a21...am1............a1ia2i...ami............a1j+ca1ia2j+ca2i...amj+cami............a1na2n...amn⎠⎟⎟⎞

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