碰撞检测GJK算法论文解析三
碰撞检测GJK算法论文解析三
- 再探Appendix Ⅱ
- 内容详解
- 再探The Distance Subalgorithm
- 内容详解
- 过程1
- 过程2
- 过程3
这里要先纠正上篇文章的一些错误，就是上篇文章的最后其实并没有证明定理3，而只是给出了仿射集系数向量 λ\lambdaλ的解的形式，而没有进一步说明如何从定理3的各个条件推导出结论；然后是之前把余子式和代数余子式的概念混杂在一起了，所以文中有些描述也错了。对于以上两点疏忽，我向大家道个歉。我修改了上篇文章的一些描述，整体内容没有变化，所以这篇文章继续从附录二开始，然后讲完第五部分。
为防止混乱，我这里先说明一下，文章内有时候会用 yiy_iyi表示点，有时候又会用 xix_ixi表示点，但无论如何，只要是同一类型的符号就代表是在同一个集合内的，关键是抓住定义，所以不用纠结用的是哪一个符号。
再探Appendix Ⅱ
内容详解
在上一篇文章的最后，我们得到了仿射集系数λi\lambda^iλi的形式，即下式：
λi=Δi(YS)/Δ(YS)\lambda^i = \Delta_i(Y_S) / \Delta(Y_S) λi=Δi(YS)/Δ(YS)然后进入引理1的分析。
引理1：当且仅当YSY_SYS是仿射独立时，行列式Δ(YS)>0\Delta(Y_S) \gt 0Δ(YS)>0。要证明这条引理，首先需要回顾(40)式和(41)式：
然后将ASA_SAS第一列除第一个元素外都变成0，也就是论文里提到的第二行之后每一行加上(x1−xi)⋅x1(x_1 - x_i) · x_1(x1−xi)⋅x1（看到(x1−xi)⋅x1(x_1 - x_i) · x_1(x1−xi)⋅x1和第一列的元素有什么区别吗？就是差一个负号）。这样的话ASA_SAS就会变成下面的矩阵：
∣11...10(x2−x1)⋅x2−(x2−x1)⋅x1...(x2−x1)⋅xr−(x2−x1)⋅x1............0(xr−x1)⋅x2−(xr−x1)⋅x1...(xr−x1)⋅xr−(xr−x1)⋅x1∣=∣11...10(x2−x1)⋅(x2−x1)...(x2−x1)⋅(xr−x1)............0(xr−x1)⋅(x2−x1)...(xr−x1)⋅(xr−x1)∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & (x_2 - x_1)·x_2- (x_2 - x_1)·x_1& ... & (x_2 - x_1)·x_r- (x_2 - x_1)·x_1\\ ...& ... & ... & ...\\ 0 & (x_r - x_1)·x_2- (x_r - x_1)·x_1 & ... & (x_r - x_1)·x_r- (x_r - x_1)·x_1 \end{vmatrix} = \\ \begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & (x_2 - x_1)·(x_2-x_1)& ... & (x_2 - x_1)·(x_r- x_1)\\ ...& ... & ... & ...\\ 0 & (x_r - x_1)·(x_2- x_1) & ... & (x_r - x_1)·(x_r- x_1) \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣10...01(x2−x1)⋅x2−(x2−x1)⋅x1...(xr−x1)⋅x2−(xr−x1)⋅x1............1(x2−x1)⋅xr−(x2−x1)⋅x1...(xr−x1)⋅xr−(xr−x1)⋅x1∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣10...01(x2−x1)⋅(x2−x1)...(xr−x1)⋅(x2−x1)............1(x2−x1)⋅(xr−x1)...(xr−x1)⋅(xr−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣等式的右边是不是很有规律？它可以变成QSTQSQ^T_SQ_SQSTQS，其中QSQ_SQS是矩阵：
这里要注意，xix_ixi是列主序的向量，所以QSQ_SQS确实是一个矩阵。当然你可以把xix_ixi都拆开再进行矩阵的乘法，不过得到的是一样的结果。根据行列式的计算公式有：det(AS)=det(QSTQS)det(A_S) = det(Q^T_SQ_S)det(AS)=det(QSTQS)，所以det(AS)⩾0det(A_S) \geqslant 0det(AS)⩾0，并且矩阵rank(AS)=rank(QS)rank(A_S) = rank(Q_S)rank(AS)=rank(QS)（rank代表矩阵的秩），如果det(AS)>0det(A_S) \gt 0det(AS)>0那么代表rank(AS)=rank(QS)=r−1rank(A_S) = rank(Q_S) = r-1rank(AS)=rank(QS)=r−1，又因为矩阵ASA_SAS内的元素是集合YSY_SYS内的点的线性组合，那么必然有dimY=r−1dim Y = r - 1dimY=r−1。回到第一篇文章，我们可以知道，如果dimaffY=dimY=r−1dim \space aff Y = dim Y= r - 1dim affY=dimY=r−1，那么说明YSY_SYS是仿射独立的。至此，引理1证明完毕。
之前提到(30)式有很多新出现的符号，我们还未了解，所以不讲。但是现在我们已经有足够的知识去理解了，而且接下来的内容也需要用到(30)式，所以接下来先返回到第五部分的(30)式，梳理完之后会回到第五部分，这里主要是接着上面的思路，所以没有把(30)式的分析放到第五部分。
(30)式内容如下：
这里面有三个式子，这里分别称为30.1、30.2以及30.3。(30.1)式我自己是觉得有点疑惑的，与其说是公式，不如说是补充定义，因为只有一个点的话计算这个值也没有什么意义。(30.3)式应该比较好理解，这个就是使用代数余子式计算行列式的公式。关键是(30.2)式，简单来说就是按照(41)式的规律，往ASA_SAS矩阵加入yjy_jyj向量后，再取第一行yjy_jyj那列的代数余子式，这里以2阶的ASA_SAS矩阵为例
AS=∣11(y2−y1)⋅y1(y2−y1)⋅y2∣A_S = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (y_2 - y_1)·y_1 & (y_2 - y_1)·y_2 \end{vmatrix} AS=∣∣∣∣1(y2−y1)⋅y11(y2−y1)⋅y2∣∣∣∣那么加入yjy_jyj后的矩阵ASjA^j_SASj则为：
ASj=∣111(y2−y1)⋅y1(y2−y1)⋅y2(y2−y1)⋅yj(yj−y1)⋅y1(yj−y1)⋅y2(yj−y1)⋅yj∣A^j_S= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ (y_2 - y_1)·y_1 & (y_2 - y_1)·y_2 & (y_2 - y_1)·y_j \\ (y_j - y_1)·y_1 & (y_j - y_1)·y_2 & (y_j - y_1)·y_j \\ \end{vmatrix}ASj=∣∣∣∣∣∣1(y2−y1)⋅y1(yj−y1)⋅y11(y2−y1)⋅y2(yj−y1)⋅y21(y2−y1)⋅yj(yj−y1)⋅yj∣∣∣∣∣∣
然后根据上一篇文章的内容，可以知道：
Δj(YS⋃{yj})=(−1)(1+3)det∣(y2−y1)⋅y1(y2−y1)⋅y2(yj−y1)⋅y1(yj−y1)⋅y2∣\Delta_j(Y_S \bigcup \lbrace y_j \rbrace) = (-1)^{(1 + 3)}det\begin{vmatrix} (y_2 - y_1)·y_1 & (y_2 - y_1)·y_2 \\ (y_j - y_1)·y_1 & (y_j - y_1)·y_2 \\ \end{vmatrix} Δj(YS⋃{yj})=(−1)(1+3)det∣∣∣∣(y2−y1)⋅y1(yj−y1)⋅y1(y2−y1)⋅y2(yj−y1)⋅y2∣∣∣∣如果取最后一行的代数余子式来进行行列式计算，那么：
Δj(YS⋃{yj})=(−1)(1+3)∗(−1)(1+2)((yj−y1)⋅y1)((y2−y1)⋅y2)+(−1)(1+3)∗(−1)(1+3)((yj−y1)⋅y2)((y2−y1)⋅y1)(a)\Delta_j(Y_S \bigcup \lbrace y_j \rbrace) = (-1)^{(1 + 3)}* (-1)^{(1 + 2)}((y_j - y_1)·y_1)((y_2 - y_1)·y_2) + (-1)^{(1 + 3)}* (-1)^{(1 + 3)}((y_j - y_1)·y_2)((y_2 - y_1)·y_1) \kern3em \lparen a \rparen Δj(YS⋃{yj})=(−1)(1+3)∗(−1)(1+2)((yj−y1)⋅y1)((y2−y1)⋅y2)+(−1)(1+3)∗(−1)(1+3)((yj−y1)⋅y2)((y2−y1)⋅y1)(a)然后我们仔细分析一下上面这个式子，有没有发现，其实Δ1YS=(−1)(1+1)((y2−y1)⋅y2)\Delta_1Y_S=(-1)^{(1 + 1)}((y_2 - y_1)·y_2)Δ1YS=(−1)(1+1)((y2−y1)⋅y2)而Δ2YS=(−1)(1+2)((y2−y1)⋅y1)\Delta_2Y_S=(-1)^{(1 + 2)}((y_2 - y_1)·y_1)Δ2YS=(−1)(1+2)((y2−y1)⋅y1)
那么(a)式可以写成：
Δj(YS⋃{yj})=−1∗Δ1YS((yj−y1)⋅y1)+(−1)∗Δ2YS((yj−y1)⋅y2)\Delta_j(Y_S \bigcup \lbrace y_j \rbrace) = -1*\Delta_1Y_S((y_j - y_1)·y_1) + (-1)*\Delta_2Y_S((y_j - y_1)·y_2) Δj(YS⋃{yj})=−1∗Δ1YS((yj−y1)⋅y1)+(−1)∗Δ2YS((yj−y1)⋅y2)这个就是(30.2)式！理解(30.2)式非常重要，因为这是证明定理3的一个关键。想要进一步熟悉的不妨推导一下4阶的ASA_SAS矩阵。
再探The Distance Subalgorithm
内容详解
有了上面几篇文章的基础，现在我们终于能去证明定理3了，这真的是一个漫长的过程，但也代表我们快要看到曙光了。这一部分虽然是在说第五部分，但是实际上证明的主题还是在附录二上，这样安排是为了思路能够更加连贯（我自己也不想每隔几行就插个标题，然后跳来跳去）。首先我们来看一下定理3的描述。
定理3：当且仅当
\kern3em 1）Δ(YS)>0\Delta(Y_S) \gt 0Δ(YS)>0；
\kern3em 2）∀i∈IS,Δi(YS)>0\forall i \in I_S,\Delta_i(Y_S) \gt 0∀i∈IS,Δi(YS)>0；
\kern3em 3）∀i∈IS′,Δj(YS⋃{yj})⩽0\forall i \in I_S',\Delta_j(Y_S \bigcup \lbrace y_j \rbrace) \leqslant 0∀i∈IS′,Δj(YS⋃{yj})⩽0
时，集合YYY的凸包离原点最近的点能够以(29)式的形式进行表示。这里要注意的是IS′I_S'IS′表示的是ISI_SIS的补集，也就是说如果Y={y1,y2,y5,y6}Y = \lbrace y_1, y_2, y_5, y_6\rbraceY={y1,y2,y5,y6}，那么I={1,2,5,6}I = \lbrace 1, 2, 5, 6\rbraceI={1,2,5,6}，然后YS={y1,y5,y6}Y_S = \lbrace y_1, y_5, y_6\rbraceYS={y1,y5,y6}，那么IS={1,2,6}I_S = \lbrace 1, 2, 6\rbraceIS={1,2,6}，IS′={5}I_S' = \lbrace 5 \rbraceIS′={5}。下面是证明过程。
过程1
首先是根据(41)式，当且仅当下面式子成立:
y⋅(y−yk)=0∀k∈IS(43)y · (y - y_k) = 0 \space \space \forall k \in I_S \kern3em \lparen 43\rparen y⋅(y−yk)=0 ∀k∈IS(43)才有y=v(affYS)y =v(aff\space Y_S)y=v(aff YS)。这怎么得到的？我们回到(41)式，然后用ASA_SAS矩阵的第二行去和λ\lambdaλ向量相乘，得到：
λ1(x2−x1)⋅x1+λ2(x2−x1)⋅x2+...+λr(x2−x1)⋅xr=0\lambda^1 (x_2 - x_1)·x_1 + \lambda^2 (x_2 - x_1)·x_2 + ... +\lambda^r (x_2 - x_1)·x_r = 0 λ1(x2−x1)⋅x1+λ2(x2−x1)⋅x2+...+λr(x2−x1)⋅xr=0合并一下多项式，得到：
(λ1x1+λ2x2+...+λrxr)⋅(x2−x1)(\lambda^1 x_1 + \lambda^2 x_2 + ... +\lambda^r x_r)·(x_2 - x_1) (λ1x1+λ2x2+...+λrxr)⋅(x2−x1)根据(12)式，以及yyy的定义，能得到：
y⋅(x2−x1)=0(1)\kern3em y·(x_2 - x_1) = 0 \kern3em(1)y⋅(x2−x1)=0(1)
同样的，我们能够得到以下式子：
y⋅(x3−x1)=0(2)\kern3em y·(x_3 - x_1) = 0 \kern3em(2)y⋅(x3−x1)=0(2)
...\kern3em\kern3em ......
y⋅(xr−x1)=0(r−1)\kern3em y·(x_r - x_1) = 0 \kern3em(r - 1)y⋅(xr−x1)=0(r−1)
然后将这r个式子乘以对应的系数λi+1\lambda^{i + 1}λi+1再相加，我们能得到：
y⋅(λ2x2+...λrxr−(λ2+...λr)x1)=0y·(\lambda^2x_2 + ...\lambda^rx_r - (\lambda^2+...\lambda^r)x_1) = 0 y⋅(λ2x2+...λrxr−(λ2+...λr)x1)=0然后λ2x2+...λrxr=y−λ1x1\lambda^2x_2 + ...\lambda^rx_r = y - \lambda^1x_1λ2x2+...λrxr=y−λ1x1，(λ2+...λr)=1−λ1(\lambda^2+...\lambda^r) = 1-\lambda^1(λ2+...λr)=1−λ1，综合这些式子就能得到(43)式，从而也说明了y=v(affYS)y =v(aff\space Y_S)y=v(aff YS)。
过程2
设y=v(affYS)y =v(aff\space Y_S)y=v(aff YS)，并且假定定理3的1)和2)都满足，那么从引理1以及(42)式出发，我们可以用(29)式和(31)式来表示yyy，具体原因其实在文章叙述的过程中已经讲解了，这里就不再阐述。
过程3
定理3的条件1)和3)、(42)式加上(30)式表明y⋅(yk−yj)⩽0y · (y_k - y_j) \leqslant 0y⋅(yk−yj)⩽0，这个代入公式应该也不难理解，所以这里也不再阐述。
综合过程1、2、3，我们能得到以下信息：对于∀x∈coY\forall x \in coY∀x∈coY，我们有：
x=∑i=1vαiyi,∑i=1vαi=1,αi⩾0x = \sum^v_{i = 1}\alpha^iy_i, \space \sum^v_{i = 1}\alpha^i = 1, \alpha^i \geqslant 0 x=i=1∑vαiyi, i=1∑vαi=1,αi⩾0这里的点的符号又变了，但不需要太纠结，抓住∀x∈coY\forall x \in coY∀x∈coY就好，上面的式子就是(12)式。那么我们可以得到下面的式子：
y⋅(y−x)=∑i=1vαiy⋅(y−yi)⩽0y·(y - x) = \sum^v_{i = 1}\alpha^iy·(y - y_i) \leqslant 0 y⋅(y−x)=i=1∑vαiy⋅(y−yi)⩽0然后我们根据(43)式可以知道上面的式子等于0，那么这代表了gcoY(y)=0g_{coY}(y) = 0gcoY(y)=0，gK(x)g_K(x)gK(x)的定义请参照(25)式，从而说明y就是离原点最近的点，即v(coY)=yv(co Y) = yv(coY)=y。
可能大家会有点晕，最后我梳理一下，简单来说就是使用定理3来找距离原点最近的点，就是上面提到的yyy，只要满足定理3，那么这个点就是我们要找的点。
那么，我们终于可以写出这个子算法的过程了：
Distance Subalgorithm：对有限集Y={y1,...,yv}⊂RmY = \lbrace y_1,...,y_v \rbrace \subset R^mY={y1,...,yv}⊂Rm，按一定的索引集构造集合YsY_sYs，其中s=1,2,...,σs = 1, 2, ..., \sigmas=1,2,...,σ，σ\sigmaσ的定义为：
σ=∑k=1v[v!/(k!(v−k)!)]\sigma = \sum^v_{k = 1}[v! / (k!(v - k)!)] σ=k=1∑v[v!/(k!(v−k)!)]（这里要注意的是sss是一个数字，结合σ\sigmaσ的定义可知，在有4个点的情况下，我们可以设定s=1s=1s=1时，Ys={y1}Y_s=\lbrace y_1\rbraceYs={y1}；s=2s=2s=2时，Ys={y2}Y_s=\lbrace y_2\rbraceYs={y2}；s=15s=15s=15时，Ys={y1,y2,y3,y4}Y_s=\lbrace y_1, y_2, y_3, y_4\rbraceYs={y1,y2,y3,y4}），然后按照下面的步骤进行处理：
\kern3em 1.s = 1;
\kern3em 2.如果YsY_sYs中的顶点满足定理3的所有条件，那么使用(29)式以及(31)式对v(coY)v(coY)v(coY)进行表示并且返回结果；
\kern3em 3.如果s<σs \lt \sigmas<σ，那么s = s + 1，然后返回到步骤1继续执行；
\kern3em 4.如果上述步骤都没有得到结果，说明算法出了问题，返回错误。
到此，GJK的主要内容已经阐述得差不多了，后面我会把第六部分也梳理出来，第六部分主要是让整个算法更加健壮。然后我会加上一个简单的例子，让大家能更好的理解。
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