投资组合绩效评价

CAPM理论可以用于评价一项投资组合的绩效，评价步骤如下
(1). 通过计算平均收益率，收益率的标准差开始分析，给定ri(i=1,2,…,n)r_i(i=1,2, \dots, n)ri(i=1,2,…,n)平均收益率为
rˉ^=1n∑i=1nri\hat{\bar{r}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nr_i rˉ^=n1i=1∑nri
均方差为
s2=1n−1∑(ri−rˉ^)2s^2=\frac{1}{n-1}\sum(r_i-\hat{\bar{r}})^2 s2=n−11∑(ri−rˉ^)2
sss作为标准差的估计
(2). 获取市场组合(SP500)与无风险资产（1年期国债）估计组合与SP500之间的协方差
cov(r,rM)=1n−1∑i=1n(ri−rˉ^)(rMi−rˉ^M)cov(r, r_M)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(r_i-\hat{\bar{r}})(r_{M_i}-\hat{\bar{r}}_M) cov(r,rM)=n−11i=1∑n(ri−rˉ^)(rMi−rˉ^M)
计算β\betaβ
β=cov(r,rM)var(rM)\beta=\frac{cov(r, r_M)}{var(r_M)} β=var(rM)cov(r,rM)
(3). 构建公式
rˉ^−rf=J+β(rˉ^M−rf)\hat{\bar{r}}-r_f=J+\beta(\hat{\bar{r}}_M-r_f) rˉ^−rf=J+β(rˉ^M−rf)
与CAPM定价公式相似，但是使用了平均收益率替换了期望收益率，误差项JJJ表示Jensen指数.
当J>0J>0J>0，根据证券市场线可以知道，组合是一个优秀的组合，但不一定是有效的.
只有在CML上的组合才是有效的，根据公式
S=rˉ^−rfσS=\frac{\hat{\bar{r}}-r_f}{\sigma} S=σrˉ^−rf
SSS为夏普指数，如果S<Ssp500S<S_{sp500}S<Ssp500那么组合不是有效的.
所以组合可能值得持有，但是不一定是有效的，为了获得有效性，需要其他资产补充到其中，即投资于一个更加具有广泛基础的组合.

单因素整体绩效评价模型

由于资产的方差-协方差矩阵的计算复杂度较高，因此证券分析师建立了实用的评估组合整体绩效的模型.

Jensen测度

Jensen测度建立在CAPM测算基础上的资产组合的平均收益，使用了组合的β\betaβ值和平均市场收益，结果为组合的α\alphaα值.
计算公式为
αi=rit−[rft+βi(rmt−rft)]\alpha_i=r_{it}-[r_{ft}+\beta_i(r_{mt}-r_{ft})] αi=rit−[rft+βi(rmt−rft)]
其中，αi\alpha_iαi为Jensen绩效指标，rmtr_{mt}rmt为市场投资组合在ttt时期的收益率，ritr_{it}rit为iii基金在ttt时期的收益率，rftr_{ft}rft为ttt时期的无风险利率；βi\beta_iβi为基金组合所承担的系统风险.
Jensen指数为绝对绩效指标，表示基金组合收益率与相同系统风险水平下市场投资组合收益率之间的差异，当其值大于0时，表示基金绩效优于市场组合.
Jensen指数评估基金整体绩效时存在一个隐含假设，即基金非系统风险已经通过投资组合分散掉，因此该模型只反映了收益率和系统风险因子之间的关系，所以基金经理的市场判断能力的存在就会使得β\betaβ值呈现时变性，使得基金绩效和市场组合绩效之间存在非线性关系；并且，如果基金没有完全消除非系统风险，那么Jensen指数会给出错误的信息. Treynor和Mazuy在模型中引入了二次回归项，Merton和Heriksson也提出了双β\betaβ值市场模型，并使用二次回归项和随机变量对基金经理的选股能力与市场运用中的时间选择能力进行了研究.

Treynor测度

Treynor测度给出了单位风险的超额收益，Treynor指数以单位系统风险收益作为基金绩效评价指标，计算公式为
Ti=rˉi−rfβiT_i=\frac{\bar{r}_i-r_f}{\beta_i} Ti=βirˉi−rf
其中，rˉi−rf\bar{r}_i-r_frˉi−rf为iii基金在样本期内的平均风险溢酬. Treynor指数同样隐含了非系统风险已经被完全消除的假设，反映了基金经理的市场调整能力，无论市场整体处于上升阶段还是下降阶段，较大的Treynor指数总是表示较好的绩效，但是如果非系统风险没有完全消除，则Treynor指数一样可能给出错误信息.

Sharpe测度

Sharpe测度是资产组合长期平均超额收益和该时期标准差的比值，是关于总体波动性回报的测度，计算公式为
Si=rˉi−rfσiS_i=\frac{\bar{r}_i-r_f}{\sigma_i} Si=σirˉi−rf
Sharpe指数和Treynor指数一样可以反映基金经理的市场调整能力，和Treynor指数不同的是，Treynor指数只考虑了系统风险，而Sharpe指数同时考虑了系统风险和非系统风险，所以Sharpe指数还可以反映基金分散和降低非系统风险的能力，在基金已经完全分散了非系统风险的情况下，Sharpe指数和Treynor指数评估结果是相同的.

测度比较

Sharpe指数和Treynor指数是相对绩效度量方法，而Jensen指数是在风险调整基础上绝对绩效度量方法，表示在完全风险水平情况下，基金经理对证券价格的准确判断能力.
Treynor指数和Jensen指数在对基金绩效评估时，均以β\betaβ系数测定风险，忽略了基金组合包含资产的数量（投资组合的广度），只考虑获得超额收益的大小（投资组合的深度）；当基金投资组合的β\betaβ值在不断变动时，Jensen的α\alphaα系数和Treynor比率都无法恰当地评价基金的表现，但是在衡量基金投资组合的绩效时，需要兼顾投资组合的深度和广度.
在绩效评价指标的选择上，Sharpe指数模型和Treynor指数模型对基金绩效评估具有客观性，Jensen指数模型用来衡量基金实际收益的差异较好.
对于Sharpe指数和Treynor指数模型的选择取决于所评估基金的类型，如果评估基金属于充分分散的组合，投资组合的β\betaβ值可以更好地反映基金的风险，Treynor指数模型是更好的选择，如果评估基金是专门投资于某一行业的基金时，相应的风险指标为投资组合的收益率标准差，使用Sharpe指数模型较好.

估价比率（信息比率）

由于α\alphaα值表示特有风险收益，因此资产组合的α\alphaα值除以非系统风险得到信息比率(IR)
rˉp=rf+β(rˉm−rf)⇒rˉp=rf+β(rˉm−rf)+epIRp=αpσ(ep)\bar{r}_p=r_f+\beta(\bar{r}_m-r_f)\Rightarrow \bar{r}_p=r_f+\beta(\bar{r}_m-r_f)+e_p\\ IR_p=\frac{\alpha_p}{\sigma(e_p)} rˉp=rf+β(rˉm−rf)⇒rˉp=rf+β(rˉm−rf)+epIRp=σ(ep)αp
信息比率是计算每单位非系统风险所带来的非常规收益，所有测度都是越大越好.

M2M^2M2测度

Sharpe测度的一个缺点是数值含义不容易解释，M2M^2M2测度，即Modiglianni平方和Sharpe测度类似，也是基于全部风险的度量，但是该测度解释了为什么相对于不同市场基准指数有不同的收益水平.
基本思想为通过无风险利率的借贷（构造新组合），将被评价的组合的标准差调整到与基准指数相同水平下，进而对基金相对于基准指数的表现进行考察.

案例：资产组合P和市场组合M，无风险利率为6%，数据如表所示

Items	portfolio P	Market M
平均收益率(%)	35	28
β\betaβ值	1.2	1
标准差(%)	42	30
非系统风险(%)	18	0

计算P与M的夏普测度，M2M^2M2测度，α\alphaα测度，Treynor测度与IR.
解析：
Sharpe测度为
Sp=35−642=0.69Sm=28−630=0.733S_p=\frac{35-6}{42}=0.69\\ S_m=\frac{28-6}{30}=0.733 Sp=4235−6=0.69Sm=3028−6=0.733
P组合不如M，调整P组合使得标准差为30%.
P组合由0.714份的P和0.286份的无风险资产（国库券）组成，期望收益率为
0.286∗6%+0.714∗42%=26.7%0.286*6\%+0.714*42\%=26.7\% 0.286∗6%+0.714∗42%=26.7%
比市场组合的平均收益率少1.3%，即P的M2M^2M2指标为-1.3%.
α\alphaα测度：αp=35−[6+1.2∗(28−6)]=2.6,αm=0\alpha_p=35-[6+1.2*(28-6)]=2.6, \alpha_m=0αp=35−[6+1.2∗(28−6)]=2.6,αm=0
Treynor测度：tp=(35−6)/1.2=24.2,tm=(28−6)/1.0=22t_p=(35-6)/1.2=24.2, t_m=(28-6)/1.0=22tp=(35−6)/1.2=24.2,tm=(28−6)/1.0=22
IR测度：IRp=2.6/18=0.144,IRm=0IR_p=2.6/18=0.144, IR_m=0IRp=2.6/18=0.144,IRm=0

选股和择时

选股能力：预测个股股价走势的能力，基金经理能否识别市场上被低估或者高估的股票
择时能力：预测整个股票市场总体价格走势的能力，基金经理根据市场整体走势调整组合的风险水平，牛市状态下增加组合的风险水平；熊市状态下降低组合的风险水平，通过高风险和低风险的资产转换获取收益.

选股能力

Fama(1972)提出了对风险调整回报率方法的详细分析框架，可以对基金业绩进行详细分解，如下图所示
图中纵轴表示回报率(%)，横轴表示风险度量，一般使用σ\sigmaσ或者β\betaβ表示，这两种不同的风险度量指标可以从市场风险和总风险两个不同角度评价基金业绩. 图中斜线为证券市场线(SML)，该直线为回报率是否和风险匹配提供了评价基准，图中市场回报率为9%，无风险回报率为2%，基金A的坐标为(8%, 0.67)，有SML可知，在市场风险水平A期望回报率为6.7%，由无风险利率rf=2%r_f=2\%rf=2%和风险溢价4.7%4.7\%4.7%组成，基金实际回报率为8%8\%8%，比期望值高1.3%1.3\%1.3%，高出的这一部分为股票选择回报率.

可以从给定与风险水平相联系的一般回报水平的角度来检验股票选择的好坏以及基金总体业绩影响，即总超额回报率=选择回报率+风险回报率.
rA−rf=(rA−rβA)+(rβA−rf)r_A-r_f=(r_A-r_{\beta_A})+(r_{\beta_A}-r_f) rA−rf=(rA−rβA)+(rβA−rf)
对于基金经理而言，想要获得超过平均值的回报率，一般需要舍弃一些分散性，通过承担更高的风险的投资组合来获得高收益，假设市场基金标准差σM=21%\sigma_M=21\%σM=21%，基金A的标准差σA=15%\sigma_A=15\%σA=15%，使用总风险水平计算基金A的一般回报率水平
rσA=rf+(rM−rf)×σAσM=2%+(9%−2%)×15%21%=7%r_{\sigma_A}=r_f+(r_M-r_f)\times\frac{\sigma_A}{\sigma_M}=2\%+\frac{(9\%-2\%)\times 15\%}{21\%}=7\% rσA=rf+(rM−rf)×σMσA=2%+21%(9%−2%)×15%=7%
因为仅考虑市场风险时回报率为6.7%6.7\%6.7%，所以3%3\%3%为与可分散风险匹配的附加回报率，基金的净选择回报率等于总选择回报率减去可分散风险相匹配的附加回报率，在图中表现为rAr_ArA与rσAr_{\sigma_A}rσA之间的距离，计算公式为
r=rA−rβA⏟总选择回报率−(rσA−rβA)⏟附加回报率r=\underbrace{r_A-r_{\beta_A}}_{\text{总选择回报率}}-\underbrace{(r_{\sigma_A}-r_{\beta_A})}_{\text{附加回报率}} r=总选择回报率rA−rβA−附加回报率(rσA−rβA)

择时能力

由CAPM可知，投资组合的预期回报率是β\betaβ值的线性函数，即
rˉp=αp+rf+(rˉM−rf)βp\bar{r}_p=\alpha_p+r_f+(\bar{r}_M-r_f)\beta_p rˉp=αp+rf+(rˉM−rf)βp
当rˉM>rf\bar{r}_M>r_frˉM>rf时，选择βp\beta_pβp较大的组合
当rˉM<rf\bar{r}_M<r_frˉM<rf时，选择βp\beta_pβp较小的组合
具有优秀择时能力的基金经理组合-市场关系特征曲线如下

当市场处于明显上涨趋势时，基金的β\betaβ值超过市场的β\betaβ值，当市场处于下跌趋势时，基金的下跌速度要慢于市场，即β\betaβ值低于市场β\betaβ值.
T-M模型
特雷诺和玛泽(1996)利用传统的二次项回归对这种关系进行了描述
rp−rf=a+b(rM−rf)+c(rM−rf)2r_p-r_f=a+b(r_M-r_f)+c(r_M-r_f)^2 rp−rf=a+b(rM−rf)+c(rM−rf)2
将择时能力定义为：基金经理预测市场的收益与无风险收益之间差异大小的能力.
H-M模型
Henriksson和Merton(1981)提出了另一种相似的模型，他们假设投资组合的β\betaβ值只取两个值，同时引入一个带有dummy variable的模型（H-M模型），当市场走强时，β\betaβ取较大值，当市场走弱时，β\betaβ取较小值，示意图如下

在回归方程中加入虚拟变量描述这种关系，即
rp−rf=a+b×(rM−rf)+c×(rM−rf)×D+ep2r_p-r_f=a+b\times(r_M-r_f)+c\times(r_M-r_f)\times D+e_p^2 rp−rf=a+b×(rM−rf)+c×(rM−rf)×D+ep2
其中DDD为虚拟变量，在市场走强时，取零值，即当rM>rfr_M>r_frM>rf时，回归方程退化为
rp−rf=a+b×(rM−rf)r_p-r_f=a+b\times(r_M-r_f) rp−rf=a+b×(rM−rf)
当市场走弱时，D=−1D=-1D=−1，方程形式为
rp−rf=a+(b−c)×(rM−rf)r_p-r_f=a+(b-c)\times(r_M-r_f) rp−rf=a+(b−c)×(rM−rf)
对于强择时能力的基金管理人，ccc值应该显著大于0.

参考资料

投资学及其R语言应用清华大学出版社朱顺泉

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