只用位运算不用算术运算实现

题目

　　给定两个32位整数a和b，可正、可负、可0.不能使用算术运算符，分别实现a和b的加减乘除。

要求

　　如果给定的a和b执行加减乘除的某些结果本来就会导致数据的溢出，那么你实现的函数不必对那些结果负责。

基本思路

　加法运算

　　使用位运算实现加法运算主要分为两个部分。先计算完全不考虑进位进行相加的结果，再计算只考虑进位的产生值。将两个结果相加就是最终的结果。

　　例如：
　　a:　　　　001010101
　　b:　　　　000101111

首先不考虑进位进行相加，结果为001111010，该结果其实就是a ^ b。

再考虑进位的产生值，结果为000001010，该结果其实就是(a & b)<< 1。

将1、2产生的结果再相加，此时依然要考虑两部分：不考虑进位和只考虑进位。

一直重复上述步骤，直到进位产生的值全部消失。

private int add(int a,int b){int sum = a;while(b!=0){sum = a^bb = (a&b) << 1a = sum}return sum}

减法运算

实现a - b只要实现a + (-b)即可。所以只要将a和b的相反数调用add函数就行。根据二进制数在机器中表达的规则，得到一个数的相反数，就是这个数的二进制数表达取反加1（补码）的结果

public int negNum(int n){return add(~n,1)
}public int minus(int a,int b){return add(a,negNum(b))
}

乘法运算

用位运算实现乘法运算。a × b的结果可以写成 a∗20∗b0+a∗21∗b1+...a∗2i∗bi+...a∗231∗b31a∗20∗b0+a∗21∗b1+...a∗2i∗bi+...a∗231∗b31. 其中bibi为0或1表示整数b的二进制表达中第i位的值（从右往左数）。该过程有点类似于求整数的N次方问题。具体实现参照如下代码

public int multi(int a,int b){int res = 0;while(b!=0){if((b&1)!=0){res = add(res,a);}a <<= 1;b >>= 1;}return res;
}

除法运算

　　用位运算实现除法运算其实就是乘法的逆运算。定义 res 表示除法的结果。首先将a向右移位31位，然后看能不能容下b，如果能，说明a/231a/231可以包含一个b，等价于a可以包含一个b∗231b∗231，令res的第31位为1，此时a的值应该为a−b∗231a−b∗231；如果不能容下b，令res的第31位为0，a的值不变；接下来将a向右移位30位是否能容下b……重复步骤直到a−b∗2i=0a−b∗2i=0。
　　以上过程只适用于a和b都不是负数的情况下，当a或b为负数时，可以先将a和b转成正数，计算完之后再判断res的真实符号就行。
　　除法实现到这一步已经可以解决绝大多数情况了。但是我们知道，32位最小整数的绝对值要比最大整数大，所以如果a或b等于最小值，是不能转换成相对应的正数的。这时候需要分情况考虑：

如果a和b都为最小值，直接返回1

如果a不为最小值，而b为最小值，那么a/b = 0，直接返回0

如果a为最小值，而b不为最小值。这时我们对a无能为力，但是我们可以让a增大一点点，计算出一个结果然后再修正一下就可以得到最终的结果。处理过程如下：

　　<1>计算(a+1)/b(a+1)/b，结果记为c
　　<2>计算c∗bc∗b
　　<3>计算(a−c∗b)/b(a−c∗b)/b，结果记为rest
　　<4>计算c+rest

public boolean isNeg(int n){return n<0;
}public int div(int a,int b){int x = isNeg(a) ? negNum(a):a;int y = isNeg(b) ? negNum(b):b;int res = 0;for (int i = 31;i>-1;i=minus(i,1)){if ((x>>i)>=y){res |= (1<<i);x = minus(x,y<<i);}}return isNeg(a)^isNeg(b) ? negNum(res):res;
}public int divide(int a,int b){if(b==0){throw new RuntimeException("divisor is 0");}if (a == Integer.MIN_VALUE && b == Integer.MIN_VALUE){return 1;}else if (b == Integer.MIN_VALUE){return 0;}else if (a == Integer.MIN_VALUE){int res = div(add(a,1),b);return add(res,div(minus(a,multi(res,b)),b));}else{return div(a,b);}
}

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