ECCV 2012 CSK:《Exploiting the circulantstructure of tracking-by-detection with kernels》论文笔记
理解出错之处望不吝指正。
本文模型就是大名鼎鼎的CSK。
本文的贡献：
（1）稠密采样、循环移位；
（2）循环矩阵带来的快速计算；
（3）计算了不同的核函数的封闭解。
.
稠密采样、循环移位
如上图所示，以往的方法中，采用的都是随机采样，作者说这会带来很大的冗余，并且只使用到了bbox的局部特征。而作者提出的稠密采样可以将整张图片的特征都利用起来。
实际上，训练样本是通过循环移位产生的。首先，稠密采样得到的样本与循环移位产生的样本很像，可以用循环移位来近似；其次，卷积（or互相关）运算在傅里叶域对应可以转化为点乘，且循环矩阵经过傅里叶变换会对角化，这两点都可以减小计算量。
循环矩阵带来的快速计算
首先，我们要知道，对于tracking任务，可以形式化的描写为下式：
这里的代表的是一个线性分类器
.
作者使用的是RLS（Regularized Least Squares）损失：.
通过使用kernel trick，这里核函数使用表示。根据表示定理，我们可以得出：
.
进一步，我们可以得出RLS with Kernels（KRLS）的封闭解：
这里为kernel martix，
为单位矩阵。注意到这个公式中存在矩阵的求逆操作，这会带来很大的计算量，作者接下来的目的就是简化上式的计算量。
作者观察到，一个向量通过循环移位可以得到一个循环矩阵：
若是将循环矩阵和矩阵
相乘，即求
，可以变换到傅里叶域进行快速计算：
同时作者在论文中提到，循环矩阵的和、点积、求逆都还是循环矩阵。接下来，就是将循环矩阵的性质应用到求解中。
对于一个给定的图片，我们将其转化为一个
的向量，则采样操作可以看为：
这里的矩阵是用来实现循环移位的置换矩阵。
接下来，作者证明了，若是一个unitarily invariant kernel，则由元素
组成的kernel martix
是一个循环矩阵。这对于KRLS来说是满足的（满足的还有：高斯核函数、线性核函数、多项式核函数等）。则对于
组成的向量
，这里
。参照
的变换，可以得到
的解：
至此，我们可以快速的计算出，训练过程可以很快速的完成。
注意，我们通篇的目的实际上就是要求解，细心的朋友会问，那
呢？论文中第四页最下面有这样一句话：“The bias term b is not important in practice, when finding the maximum response.”。
快速检测过程
对于一个输入图像，response可以通过下式计算：
使用前文中提到的技巧，我们可以通过下式快速的得到response：
这里向量中的元素为
.
到目前为止，基本上已经没有矩阵运算了，不过为什么说基本上呢？因为还有一个地方需要矩阵运算，就是计算。接下来，作者对核矩阵的快速计算进行了推导，使上式中彻底没有了矩阵运算，这里就不做介绍了。
本模型的缺点：
（1）采用单通道的灰度特征，特征表达能力有限（KCF/DCF中解决）；
（2）循环矩阵会导致边界效应（SRDCF中解决）；
（3）模型中没有尺度更新，对尺度变换不敏感（DSST中解决）。
啥是边界效应？
训练阶段，目标中心移动到边缘附近，此时应视为负样本，在检测阶段，当目标移动到边界附近，此时的目标和训练时使用的负样本是比较接近的，但是此时应当把此作为正样本来检测目标。实际算法会将其视为负样本，所以经常会导致跟踪失败。
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