正则化与L0、L1、L2范数祥解

1、范数

范数是衡量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量以长度或大小。范数的一般化定义：对实数p>=1，范数定义如下：

L1范数
当p=1时，是L1范数，其表示某个向量中所有元素绝对值的和。
L2范数
当p=2时，是L2范数，表示某个向量中所有元素平方和再开根，也就是欧几里得距离公式。

2、拉普拉斯分布

如果随机变量的概率密度函数分布为:

那么它就是拉普拉斯分布。其中，μ 是数学期望，b > 0 是振幅。如果 μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度为 1/2 的指数分布。

3、高斯分布

又叫正态分布，若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2)，其概率密度函数为:

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

4、正则化详解

正则化通过降低模型的复杂性，达到避免过拟合的问题。正则化是如何解决过拟合的问题的呢？从网上找了很多相关文章，下面列举两个主流的解释方式。

原因1：来自知乎上一种比较直观和简单的理解，模型过于复杂是因为模型尝试去兼顾各个测试数据点，导致模型函数如下图，处于一种动荡的状态，每个点的到时在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

而加入正则能抑制系数过大的问题。如下公式，是岭回归的计算公式。

如果发生过拟合，参数θ一般是比较大的值，加入惩罚项后，只要控制λ的大小，当λ很大时，θ1到θn就会很小，即达到了约束数量庞大的特征的目的。

原因二：从贝叶斯的角度来分析，正则化是为模型参数估计增加一个先验知识，先验知识会引导损失函数最小值过程朝着约束方向迭代。 L1正则是拉普拉斯先验，L2是高斯先验。整个最优化问题可以看做是一个最大后验估计，其中正则化项对应后验估计中的先验信息，损失函数对应后验估计中的似然函数，两者的乘积即对应贝叶斯最大后验估计。
给定训练数据, 贝叶斯方法通过最大化后验概率估计参数θ：

说明：P(θ)是参数向量θ的先验概率。

下面我们从最大后验估计(MAP)的方式，推导下加入L1和L2惩罚项的Lasso和岭回归的公式。
首先我们看下最小二乘公式的推导（公式推导截图来自知乎大神）

这个是通过最大似然估计的方法，推导出线性回归最小二乘计算公式。

最终的公式就是岭回归计算公式。与上面最大似然估计推导出的最小二乘相比，最大后验估计就是在最大似然估计公式乘以高斯先验，这里就理解前面L2正则就是加入高斯先验知识

最终的公式就是Lasso计算公式。与上面最大似然估计推导出的最小二乘相比，最大后验估计就是在最大似然估计公式乘以拉普拉斯先验，这里就理解前面L1正则就是加入拉普拉斯先验知识

5、L1和L2正则化的直观理解

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

假设有如下带L1正则化的损失函数：

$J=\mathbf{J_{0}}+\alpha \sum \left | w \right |_{1}$

其中 $\mathbf{J_{0}}$ 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时，相当于对J0做了一个约束。令L=α∑w|w|，则J=J0+L，此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1和w2，此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图：

图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

$J=\mathbf{J_{0}}+\alpha \sum\left | \left | w \right | \right |_{2}$

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

6、选择L2正则项的原因

给损失函数加上的正则化项可以有多种形式，下面给出了正则化的一般形式：

不同函数值图像对应的等高线（即俯视图）为：

7、总结

L2 regularizer ：使得模型的解偏向于范数较小的 W，通过限制 W 范数的大小实现了对模型空间的限制，从而在一定程度上避免了 overfitting 。不过 ridge regression 并不具有产生稀疏解的能力，得到的系数仍然需要数据中的所有特征才能计算预测结果，从计算量上来说并没有得到改观。
L1 regularizer ：它的优良性质是能产生稀疏性，导致 W 中许多项变成零。稀疏的解除了计算量上的好处之外，更重要的是更具有“可解释性”。