信号分解：标架、对偶标架、紧标架

2024-05-12 11:14:28

1.前言

信号分解或信号变换的基本思路是将信号x(t)和一组函数（或向量）做內积，从而得到一组分解系数an。

分解（或变换）的目的是研究原始信号中有哪些有哟用的信息，并讨论如何抽取这些有用的信息。我能能够理解，正交基具有很多优点（信息不冗余，对偶基是本身），实际应用中也是最广泛的，可惜的是，在实际工作中，发现并得到一组好的正交基往往是不容易的。

正式正交基，或者更广泛地说，分解对研究信号具有很重要的意义，我们不仅反问自:

1.用于分解的一组函数如何构成拍一组正交基？

2.用于分解的一组函数如何构成一组基呢？

3.如果不能构成一组基，既是线性相关的，那么在什么条件下可保证对信号的分解是完备的，并且可以稳定地实现信号的重建？

标价理论要解决的恰恰是最后一个问题。

2.基本定义

2.1 标架

设是Hilbert空间H中的一组向量，对任一信号x∈H，如果存在常数A、B，c<A≤B<∞。并使下式成立：

则称构成一个标架。显然，标架是Hilbert空间中的一组向量。

2.2 对偶标架

设是Hilbert空间中的一个标架，定义标架算子S为：

下面的结论可以证明：

也是一个标架，标架的边界为，它称为的对偶标架；

Hilbert空间的任一信号x都可表示为形式：

如果A＝B，则称构成了一个“紧（tight）标架”。这时满足：

2.3 紧标架

如果构成一紧标架，且A＝1，则是一正交基。

根据基函数及对偶函数关于原始信号重建原则，有下式：

这里需要注意的是，双正交情况下满足关系：。

通过上式，即可证明正交变换必为紧标架。基向量具备线性相关时，标架在Hibert空间依然能够做到信号分解，并满足“完备性”，当然信息冗余无法避免。

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