第三十一讲非线性微分自治方程组及图解

一，非线性一阶微分自治方程组的一般形式：
{x′=f(x,y)y′=g(x,y)\left\{\begin{matrix}{x}'=f(x,y)\\ {y}'=g(x,y)\end{matrix}\right.{x′=f(x,y)y′=g(x,y)
等式右边不显含变量t
等式右边是非线性函数（如三角函数、二次项）

二，例题（含阻尼的非线性摆）：

如图，一根木杆绕定点o来回摆动，下端有个质量为m的摆球，木杆长度为l，轨道是圆形。θ角是木杆和垂直方向的夹角。规定逆时针摆动为正方向，θ角为正，顺时针为负方向，θ角为负。
分析：
模型满足方程ma⃗=F⃗m\vec{a}=\vec{F}ma=F
因为：a⃗=θ′′l\vec{a}={\theta }''la=θ′′l，F=−mgsin(θ)F=-mgsin(\theta )F=−mgsin(θ)，F的方向为负方向
所以：mθ′′l=−mgsin(θ)m{\theta }''l=-mgsin(\theta )mθ′′l=−mgsin(θ)
再减去阻尼线速度：mθ′′l=−mgsin(θ)−c1lθ′m{\theta }''l=-mgsin(\theta )-c_{1}l{\theta }'mθ′′l=−mgsin(θ)−c1lθ′，c1c_{1}c1为常数
整理为微分方程：θ′′+c1mθ′+glsin(θ)=0{\theta }''+\frac{c_{1}}{m}{\theta }'+\frac{g}{l}sin(\theta )=0θ′′+mc1θ′+lgsin(θ)=0
常数集总：令c1m=c\frac{c_{1}}{m}=cmc1=c称为阻尼常数，令gl=k\frac{g}{l}=klg=k
化简微分方程：θ′′+cθ′+ksin(θ)=0{\theta }''+c{\theta }'+ksin(\theta )=0θ′′+cθ′+ksin(θ)=0
转化为方程组：
{θ′=ωω′=−ksin(θ)−cω\left\{\begin{matrix}{\theta }'=\omega \\ {\omega }'=-ksin(\theta )-c\omega \end{matrix}\right.{θ′=ωω′=−ksin(θ)−cω
令c=1，k=2，得欠阻尼状态：
{θ′=ωω′=−2sin(θ)−ω\left\{\begin{matrix}{\theta }'=\omega \\ {\omega }'=-2sin(\theta )-\omega \end{matrix}\right.{θ′=ωω′=−2sin(θ)−ω
第一步，找到临界点（本身构成解的点）：
设临界点为(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)，意味着{x0′=f(x0,y0)=0y0′=g(x0,y0)=0\left\{\begin{matrix}{x_{0}}'=f(x_{0},y_{0})=0\\ {y_{0}}'=g(x_{0},y_{0})=0\end{matrix}\right.{x0′=f(x0,y0)=0y0′=g(x0,y0)=0
本例中{θ0′=ω0=0ω0′=−2sin(θ0)−ω0=0\left\{\begin{matrix}{\theta _{0}}'=\omega _{0}=0\\ {\omega _{0}}'=-2sin(\theta _{0})-\omega _{0}=0\end{matrix}\right.{θ0′=ω0=0ω0′=−2sin(θ0)−ω0=0，在该点角速度和角加速度都为0，处于静止状态
解方程组，得：sin(θ0)=0sin(\theta _{0})=0sin(θ0)=0，{θ0=nπω0=0\left\{\begin{matrix}\theta _{0}=n\pi \\ \omega _{0}=0\end{matrix}\right.{θ0=nπω0=0，n是整数
从物理的角度看，临界点在圆形轨迹的最低点[θ0ω0]=[00]\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[θ0ω0]=[00]和最高点[θ0ω0]=[π0]\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 0\end{bmatrix}[θ0ω0]=[π0]，最低点的临界点是稳定的（摆球从该点附近出发，时间趋于无穷时，摆球会接近该点），最高点的临界点是不稳定的（摆球从该点附近出发，时间趋于无穷时，摆球会远离该点）。
第二步，对每个临界点附近，线性化方程组，并画出轨迹：
当在最低点[θ0ω0]=[00]\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[θ0ω0]=[00]时：
线性化：当θ0\theta _{0}θ0是无穷小时，sin(θ0)→θ0sin(\theta _{0})\rightarrow \theta _{0}sin(θ0)→θ0
方程组变为：{θ0′=ω0ω0′=−2θ0−ω0\left\{\begin{matrix}{\theta _{0}}'=\omega _{0}\\ {\omega _{0}}'=-2\theta _{0}-\omega _{0}\end{matrix}\right.{θ0′=ω0ω0′=−2θ0−ω0

矩阵化：[θ0′ω0′]=[01−2−1][θ0ω0]\begin{bmatrix}{\theta _{0}}'\\ {\omega _{0}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}[θ0′ω0′]=[0−21−1][θ0ω0]
求特征值：
二阶矩阵公式λ2+λ+2=0\lambda ^{2}+\lambda +2=0λ2+λ+2=0，得：λ=−1±−72\lambda =\frac{-1\pm \sqrt{-7}}{2}λ=2−1±−7
λ\lambdaλ是复数，说明图像是螺旋。因为实部−12-\frac{1}{2}−21是负数，所以大小会按照e−12te^{-\frac{1}{2}t}e−21t缩小。因此螺旋是汇聚，不是源。
求螺旋方向：
将点[θ0ω0]=[10]\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}[θ0ω0]=[10]代入方程组，得该点速度向量[θ0′ω0′]=[0−2]\begin{bmatrix}{\theta _{0}}'\\ {\omega _{0}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ -2\end{bmatrix}[θ0′ω0′]=[0−2]，竖直向下
作图：

物理含义：摆球从最低点附近开始，向最低点靠近，来回摆动，由于受到阻尼影响，摆幅越来越小，最后静止。

当在最高点[θ0ω0]=[π0]\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 0\end{bmatrix}[θ0ω0]=[π0]时：
线性化：
临界点(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)处的雅克比矩阵：J0=[fxfygxgy]0J_{0}=\begin{bmatrix}f_{x} & f_{y}\\ g_{x} & g_{y}\end{bmatrix}_{0}J0=[fxgxfygy]0

本例中，临界点的方程组：{θ0′=ω0ω0′=−2sin(θ0)−ω0\left\{\begin{matrix}{\theta _{0}}'=\omega _{0}\\ {\omega _{0}}'=-2sin(\theta _{0})-\omega _{0}\end{matrix}\right.{θ0′=ω0ω0′=−2sin(θ0)−ω0
雅克比矩阵：J0=[fθfωgθgω]0=[01−2cos(θ)−1]J_{0}=\begin{bmatrix}f_{\theta } & f_{\omega }\\ g_{\theta } & g_{\omega }\end{bmatrix}_{0}=\begin{bmatrix}0 &1 \\ -2cos(\theta ) & -1\end{bmatrix}J0=[fθgθfωgω]0=[0−2cos(θ)1−1]
这个雅克比矩阵就是线性化方程中的矩阵A：比如，当在最低点[θ0ω0]=[00]\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[θ0ω0]=[00]时，J0=[01−2cos(θ)−1]=[01−2−1]J_{0}=\begin{bmatrix}0 &1 \\ -2cos(\theta ) & -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -1\end{bmatrix}J0=[0−2cos(θ)1−1]=[0−21−1]

当在最高点[θ0ω0]=[π0]\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 0\end{bmatrix}[θ0ω0]=[π0]时：J0=[01−2cos(θ)−1]=[012−1]J_{0}=\begin{bmatrix}0 &1 \\ -2cos(\theta ) & -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 2 & -1\end{bmatrix}J0=[0−2cos(θ)1−1]=[021−1]

矩阵化：[θ0′ω0′]=[012−1][θ0ω0]\begin{bmatrix}{\theta _{0}}'\\ {\omega _{0}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 2 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}[θ0′ω0′]=[021−1][θ0ω0]
求特征值：
二阶矩阵公式λ2+λ−2=0\lambda ^{2}+\lambda -2=0λ2+λ−2=0，得：λ1=1\lambda _{1}=1λ1=1，λ2=−2\lambda _{2}=-2λ2=−2
求特征向量：
将λ1=1\lambda _{1}=1λ1=1代入[0−λ12−1−λ][α1α2]=0\begin{bmatrix}0-\lambda & 1\\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\ \alpha _{2}\end{bmatrix}=0[0−λ21−1−λ][α1α2]=0得：α1⃗=c1[11]\vec{\alpha _{1}}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}α1=c1[11]，解为c1[11]etc_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}e^{t}c1[11]et

将λ1=−2\lambda _{1}=-2λ1=−2代入[0−λ12−1−λ][α1α2]=0\begin{bmatrix}0-\lambda & 1\\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\ \alpha _{2}\end{bmatrix}=0[0−λ21−1−λ][α1α2]=0得：α2⃗=c2[1−2]\vec{\alpha _{2}}=c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}α2=c2[1−2]，解为c2[1−2]e−2tc_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-2t}c2[1−2]e−2t

通解：[θ0ω0]=c1[11]et+c2[1−2]e−2t\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}e^{t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-2t}[θ0ω0]=c1[11]et+c2[1−2]e−2t

作图（按照第二十七讲的方法）：

物理含义：摆球从最高点附近开始，由慢变快地向最低点下落。
第三步，将两个临界点的图结合成大图：
画出每个临界点的轨迹，并补充些轨迹。

物理含义：摆球从最高点附近开始，由慢变快地向最低点下落，如果力很大，就要转好几圈，然后在最低点附近来回摆动，由于受到阻尼影响，摆幅越来越小，最后静止。

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