Unity3D C#数学系列之判断两条线段是否相交并求交点

1 引言
问题：已知三维空间中四点A、B、C、D，如何判断线段AB与CD是否相交，若相交则求出交点。

分析：

AB、CD要相交，则AB、CD必须要在同一平面内
快速排斥和跨立实验判断是否相交
几何法分析求出交点
先来看看效果，紫色小球为交点。

2 求解
2.1 AB、CD是否共面与平行
要判断AB、CD是否共面，其实就是判断A、B、C、D四个点是否共面。我们知道三点确定一个平面，如果AB垂直于ACD三点所在平面的法线，则说明A、B、C、D四点共面。
A、C、D三点所在平面的法线怎么求？
很简单，两个向量的叉乘就是这两个向量所在平面的法线。

这里我们用点积来写代码。

Vector3 ab = b - a;
Vector3 ca = a - c;
Vector3 cd = d - c;Vector3 v1 = Vector3.Cross(ca, cd);if (Mathf.Abs(Vector3.Dot(v1, ab)) > 1e-6)
{// 不共面return false;
}

AB和CD平行时，两者的夹角为0°或180°，也可用点积或叉积来判断，这里就不再多说了。

2.2 快速排斥与跨立实验判断AB、CD是否相交
2.2.1 快速排斥
快速排斥的作用是先预处理一下，先排出掉根本不可能相交的情况，以减少不必要的运算。
其原理就是判断AB的包围盒与CD的包围盒是否有重叠的部分。什么意思呢？看图就明白了。

三维的同理。

代码怎么写呢？如下。

// 快速排斥
if (Mathf.Min(a.x, b.x) > Mathf.Max(c.x, d.x) || Mathf.Max(a.x, b.x) < Mathf.Min(c.x, d.x)|| Mathf.Min(a.y, b.y) > Mathf.Max(c.y, d.y) || Mathf.Max(a.y, b.y) < Mathf.Min(c.y, d.y)|| Mathf.Min(a.z, b.z) > Mathf.Max(c.z, d.z) || Mathf.Max(a.z, b.z) < Mathf.Min(c.z, d.z)
)return false;

2.2.2 跨立实验
什么是跨立呢？比如A、B两点分别位于CD的左右两边，我们就说A、B跨立CD。
如果两条线段相交，它们必然是互相跨立的嘛。
怎么判断跨立呢？用向量的叉积。

代码如下：

// 跨立试验
if (Vector3.Dot(Vector3.Cross(-ca, ab), Vector3.Cross(ab, ad)) > 0&& Vector3.Dot(Vector3.Cross(ca, cd), Vector3.Cross(cd, cb)) > 0)
{// 相交return true;
}

2.3 计算交点
咱们先写结论。

AO与AB的比值求到了，O点也就能求到了。
结论怎么来的？分析如下：

① 咱们先做条辅助线CE，CE平行于AB，且与AB等长。

② 则有ΔAFO相似于ΔEGC，则有

③ 则有

④根据叉积的定义，又有

⑤于是乎，就有

这里我们用点积来计算，主要是为了能够求出AB和CD不直接相交，但AB的延长线和CD相交的交点。比如我们把下面提供的代码中的快速排斥和跨立试验给注释掉，就能求出延长线的交点。

3 完整项目
如下。

/// <summary>
/// 计算AB与CD两条线段的交点.
/// </summary>
/// <param name="a">A点</param>
/// <param name="b">B点</param>
/// <param name="c">C点</param>
/// <param name="d">D点</param>
/// <param name="intersectPos">AB与CD的交点</param>
/// <returns>是否相交 true:相交 false:未相交</returns>
private bool TryGetIntersectPoint(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c, Vector3 d, out Vector3 intersectPos)
{intersectPos = Vector3.zero;Vector3 ab = b - a;Vector3 ca = a - c;Vector3 cd = d - c;Vector3 v1 = Vector3.Cross(ca, cd);if (Mathf.Abs(Vector3.Dot(v1, ab)) > 1e-6){// 不共面return false;}if (Vector3.Cross(ab, cd).sqrMagnitude <= 1e-6){// 平行return false;}Vector3 ad = d - a;Vector3 cb = b - c;// 快速排斥if (Mathf.Min(a.x, b.x) > Mathf.Max(c.x, d.x) || Mathf.Max(a.x, b.x) < Mathf.Min(c.x, d.x)|| Mathf.Min(a.y, b.y) > Mathf.Max(c.y, d.y) || Mathf.Max(a.y, b.y) < Mathf.Min(c.y, d.y)|| Mathf.Min(a.z, b.z) > Mathf.Max(c.z, d.z) || Mathf.Max(a.z, b.z) < Mathf.Min(c.z, d.z))return false;// 跨立试验if (Vector3.Dot(Vector3.Cross(-ca, ab), Vector3.Cross(ab, ad)) > 0&& Vector3.Dot(Vector3.Cross(ca, cd), Vector3.Cross(cd, cb)) > 0){Vector3 v2 = Vector3.Cross(cd, ab);float ratio = Vector3.Dot(v1, v2) / v2.sqrMagnitude;intersectPos = a + ab * ratio;return true;}return false;
}

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原文链接：https://blog.csdn.net/sinat_25415095/article/details/114293638

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原文:https://www.cnblogs.com/tuyang1129/p/9390376.html 实现:https://blog.csdn.net/yegshun/article/detail ...
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