0502微积分基本公式-定积分

文章目录

1 积分上限函数及其导数
- 1.1 定义
- 1.2 定理
2 微积分基本公式
后记

1 积分上限函数及其导数

1.1 定义

设函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上连续，并且设x为[a,b]x为[a,b]x为[a,b]上的一点，则f(x)f(x)f(x)在部分区间[a,x][a,x][a,x]上的定积分

∫axf(x)dx\int_a^xf(x)dx∫axf(x)dx

f(x)在区间[a,x]f(x)在区间[a,x]f(x)在区间[a,x]依然连续，所以该定积分存在。

这里x即是积分上限，也是积分变量。因为定积分和积分变量的记法无关，为了明确期间，用积分变量t，则上述定积分为

∫axf(t)dt\int_a^xf(t)dt∫axf(t)dt

如果上限x在区间[a,b]x在区间[a,b]x在区间[a,b]上任意变动，那么对于任意一个确定的x，定积分有一个对应值，所以它在[a,b][a,b][a,b]上定义了一个函数，记做

Φ(x)=∫axf(t)dt(a≤x≤b)\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt\quad(a\le x\le b)Φ(x)=∫axf(t)dt(a≤x≤b)

我们称函数Φ(x)\Phi(x)Φ(x)为f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上的积分上限函数。

设函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上连续，任取x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b],有

Φ(x)=∫axf(t)dt\Phi(x)=\int_a^xf(t)dtΦ(x)=∫axf(t)dt

则函数Φ(x)\Phi(x)Φ(x)为f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上的积分上限函数。

1.2 定理

定理1 如果函数f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限函数

Φ(x)=∫axf(t)dt\Phi(x)=\int_a^xf(t)dtΦ(x)=∫axf(t)dt

在[a,b][a,b][a,b]上可导，并且它的导数

Φ′(x)=ddx∫axf(t)dt=f(x)(a≤x≤b)\Phi^{'}(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)\quad(a\le x\le b)Φ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)(a≤x≤b)

设∃x∈(a,b),设x+Δx∈(a,b)则Φ(x+Δx)=∫ax+Δxf(t)dt,函数的增量为ΔΦ=Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=∫xx+Δxf(t)dt,应用积分中值定理有ΔΦ=∫xx+Δxf(t)dt=f(ξ)Δx(x≤ξ≤x+Δx)上式两端除以Δx限得ΔΦΔx=f(ξ)当Δx→0时，ξ→x,上式端取极限，得lim⁡Δx→0ΔΦΔx=f(x)当x=a,取Δx>0，则同理可证Φ+′(a)=f(a);若x=b,取Δx<0,同理可证Φ−′(b)=f(b)设\exist x\in(a,b),设x+\Delta x\in(a,b)则\\ \Phi(x+\Delta x)=\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt,函数的增量为\\ \Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt\\ =\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt,应用积分中值定理有\\ \Delta\Phi=\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(\xi)\Delta x\quad(x\le\xi\le x+\Delta x)\\ 上式两端除以\Delta x限得\\ \frac{\Delta\Phi}{\Delta x}=f(\xi)\\ 当\Delta x\to0时，\xi\to x,上式端取极限，得 \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta\Phi}{\Delta x}=f(x)\\ 当x=a,取\Delta x\gt 0，则同理可证\Phi_+^{'}(a)=f(a);若x=b,取\Delta x\lt0,同理可证\Phi_-^{'}(b)=f(b) 设∃x∈(a,b),设x+Δx∈(a,b)则Φ(x+Δx)=∫ax+Δxf(t)dt,函数的增量为ΔΦ=Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=∫xx+Δxf(t)dt,应用积分中值定理有ΔΦ=∫xx+Δxf(t)dt=f(ξ)Δx(x≤ξ≤x+Δx)上式两端除以Δx限得ΔxΔΦ=f(ξ)当Δx→0时，ξ→x,上式端取极限，得Δx→0limΔxΔΦ=f(x)当x=a,取Δx>0，则同理可证Φ+′(a)=f(a);若x=b,取Δx<0,同理可证Φ−′(b)=f(b)

定理2(原函数存在定理) 如果函数f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数

Φ(x)=∫axf(t)dt\Phi(x)=\int_a^xf(t)dtΦ(x)=∫axf(t)dt

就是f(x)在[a,b]f(x)在[a,b]f(x)在[a,b]上的一个原函数。

注：积分上限、下限可以是关于x的函数

∫aϕ(x)f(t)dt=f[ϕ(x)]ϕ′(x)\int_a^{\phi(x)}f(t)dt=f[\phi(x)]\phi^{'}(x)∫aϕ(x)f(t)dt=f[ϕ(x)]ϕ′(x)
∫ξ(x)ϕ(x)f(t)dt=f[ϕ(x)]ϕ′(x)−f[ξ(x)]ξ′(x)\int_{\xi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt=f[\phi(x)]\phi^{'}(x)-f[\xi(x)]\xi^{'}(x)∫ξ(x)ϕ(x)f(t)dt=f[ϕ(x)]ϕ′(x)−f[ξ(x)]ξ′(x)
(∫axf(t)g(x)dt)′=(g(x)∫axf(t)dt)′=g′(x)∫axf(t)dt+g(x)f(x)(\int_a^xf(t)g(x)dt)^{'}=(g(x)\int_a^xf(t)dt)^{'}=g^{'}(x)\int_a^xf(t)dt+g(x)f(x)(∫axf(t)g(x)dt)′=(g(x)∫axf(t)dt)′=g′(x)∫axf(t)dt+g(x)f(x)

例1 求ddx∫0xet2dt\frac{d}{dx}\int_0^xe^{t^2}dtdxd∫0xet2dt
ddx∫0xet2dt=ex2\frac{d}{dx}\int_0^xe^{t^2}dt=e^{x^2} dxd∫0xet2dt=ex2
求ddx∫0x21+t4dt\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^4}dtdxd∫0x21+t4dt
ddx∫0x21+t4dt=1+(x2)4(x2)′=2x1+t8\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^4}dt=\sqrt{1+(x^2)^4}(x^2)^{'}\\ =2x\sqrt{1+t^8} dxd∫0x21+t4dt=1+(x2)4(x2)′=2x1+t8
求ddx∫x2x31+t4dt\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^4}dtdxd∫x2x31+t4dt
ddx∫x2x31+t4dt=3x21+x12−2x1+x8\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^4}dt=3x^2\sqrt{1+x^{12}}-2x\sqrt{1+x^8} dxd∫x2x31+t4dt=3x21+x12−2x1+x8
例2 求lim⁡x→0∫cos⁡x1e−t2dtx2\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{\cos x}^1e^{-t^2}dt}{x^2}x→0limx2∫cosx1e−t2dt
该极限为00型未定式，应用洛必达法则lim⁡x→0∫cos⁡x1e−t2dtx2=lim⁡x→0e−cos⁡2xsin⁡x2x=12e该极限为\frac{0}{0}型未定式，应用洛必达法则\\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{\cos x}^1e^{-t^2}dt}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\cos^2x}\sin x}{2x}\\ =\frac{1}{2e} 该极限为00型未定式，应用洛必达法则x→0limx2∫cosx1e−t2dt=x→0lim2xe−cos2xsinx=2e1
例3 设y=y(x)y=y(x)y=y(x)由参数方程
{x=1+2t2y=∫11+2ln⁡teuudu(t>0)\begin{cases} x=1+2t^2\\ y=\int_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du\quad (t\gt0) \end{cases} {x=1+2t2y=∫11+2lntueudu(t>0)
所确定，求dydx\frac{dy}{dx}dxdy
解：dydx=dydt⋅dtdx=(∫11+2ln⁡teuudu)′⋅14t=2et1+2ln⁡t⋅14t=e2(1+2ln⁡t)解：\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\\ =(\int_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du)^{'}\cdot\frac{1}{4t}=\frac{2et}{1+2\ln t}\cdot\frac{1}{4t}\\ =\frac{e}{2(1+2\ln t)} 解：dxdy=dtdy⋅dxdt=(∫11+2lntueudu)′⋅4t1=1+2lnt2et⋅4t1=2(1+2lnt)e

例4 设f(x)在[0,+∞)f(x)在[0,+\infty)f(x)在[0,+∞)内连续，且f(x)>0f(x)\gt0f(x)>0,证明

F(x)=∫0xtf(t)dt∫0xf(t)dtF(x)=\frac{\int_0^xtf(t)dt}{\int_0^xf(t)dt}F(x)=∫0xf(t)dt∫0xtf(t)dt在(0,∞)(0,\infty)(0,∞)内单增。
证明：F′(x)=(∫0xtf(t)dt)′⋅∫0xf(t)dt−∫0xtf(t)dt⋅(∫0xf(t)dt)′(∫0xf(t)dt)2=xf(x)∫0xf(t)dt−f(x)∫0xtf(t)dt(∫0xf(t)dt)2=∫0xf(x)f(t)(x−t)dt(∫0xf(t)dt)2因为,x∈(0,∞),0≤t≤x,f(x)>0所以f(t)>0,(x−t)≥0且x≢t从而f(x)f(t)(x−t)≥0且不恒等于0，所以∫0xf(x)f(t)(x−t)dt>0所以当x∈(0,∞)时，F′(x)>0,即F(x)在(0,infty)内单增。证明：F^{'}(x)=\frac{(\int_0^xtf(t)dt)^{'}\cdot\int_0^xf(t)dt-\int_0^xtf(t)dt\cdot(\int_0^xf(t)dt)^{'}}{(\int_0^xf(t)dt)^2}\\ =\frac{xf(x)\int_0^xf(t)dt-f(x)\int_0^xtf(t)dt}{(\int_0^xf(t)dt)^2}\\ =\frac{\int_0^xf(x)f(t)(x-t)dt}{(\int_0^xf(t)dt)^2}\\ 因为,x\in(0,\infty),0\le t\le x, f(x)\gt 0\\ 所以f(t)\gt0,(x-t)\ge0且x\not\equiv t\\ 从而f(x)f(t)(x-t)\ge0且不恒等于0，所以\int_0^xf(x)f(t)(x-t)dt\gt0\\ 所以当x\in(0,\infty)时，F^{'}(x)\gt 0,即F(x)在(0,infty)内单增。证明：F′(x)=(∫0xf(t)dt)2(∫0xtf(t)dt)′⋅∫0xf(t)dt−∫0xtf(t)dt⋅(∫0xf(t)dt)′=(∫0xf(t)dt)2xf(x)∫0xf(t)dt−f(x)∫0xtf(t)dt=(∫0xf(t)dt)2∫0xf(x)f(t)(x−t)dt因为,x∈(0,∞),0≤t≤x,f(x)>0所以f(t)>0,(x−t)≥0且x≡t从而f(x)f(t)(x−t)≥0且不恒等于0，所以∫0xf(x)f(t)(x−t)dt>0所以当x∈(0,∞)时，F′(x)>0,即F(x)在(0,infty)内单增。

2 微积分基本公式

定理3（微积分基本定理）如果函数F(x)F(x)F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)(2−4)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\quad(2-4)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)(2−4)

证明：已知F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，根据定理2知，积分上限函数Φ(x)=∫axf(t)dt也是f(x)的一个原函数，则F(x)−Φ(x)=C(a≤x≤b,C为常数)(2−5)去x=a,F(a)−Φ(a)=C，Φ(a)=0,F(a)=C,导入2−5式得Φ(x)=∫axf(t)dt=F(x)−F(a)令x=b,∫abf(x)dx=F(b)−F(a)证明：已知F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，根据定理2知，积分上限函数\\ \quad\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt 也是f(x)的一个原函数，则\\ \quad F(x)-\Phi(x)=C\quad(a\le x\le b,C为常数)\quad(2-5)\\ 去x=a,F(a)-\Phi(a)=C，\Phi(a)=0,F(a)=C,导入2-5式得\\ \Phi(x)=\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)\\ 令x=b,\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) 证明：已知F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，根据定理2知，积分上限函数Φ(x)=∫axf(t)dt也是f(x)的一个原函数，则F(x)−Φ(x)=C(a≤x≤b,C为常数)(2−5)去x=a,F(a)−Φ(a)=C，Φ(a)=0,F(a)=C,导入2−5式得Φ(x)=∫axf(t)dt=F(x)−F(a)令x=b,∫abf(x)dx=F(b)−F(a)

注：

该公式也称为牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz），也叫微积分基本公式
运用微积分基本公式的前提是函数f(x)f(x)f(x)是连续的

例1 求∫−22314+x2dx\int_{-2}^{2\sqrt{3}}\frac{1}{4+x^2}dx∫−2234+x21dx
解：∫−22314+x2dx=12arctan⁡x2∣−223=12(arctan⁡3−arctan⁡(−1))=724π解：\int_{-2}^{2\sqrt{3}}\frac{1}{4+x^2}dx=\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}|_{-2}^{2\sqrt{3}}\\ =\frac{1}{2}(\arctan\sqrt{3}-\arctan(-1))=\frac{7}{24}\pi 解：∫−2234+x21dx=21arctan2x∣−223=21(arctan3−arctan(−1))=247π
求∫01x1+x2dx\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx∫011+x2xdx
解：∫01x1+x2dx=x2+1∣01=2−1解：\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\sqrt{x^2+1}|_0^1=\sqrt{2}-1 解：∫011+x2xdx=x2+1∣01=2−1
例2 求∫−11f(x)dx\int_{-1}^1f(x)dx∫−11f(x)dx,其中
f(x)={x2+1,(0≤x≤1)x+1,(−1≤x<0)f(x)= \begin{cases} x^2+1,\quad(0\le x\le1)\\ x+1,\quad(-1\le x\lt0) \end{cases} f(x)={x2+1,(0≤x≤1)x+1,(−1≤x<0)

解:∫−11f(x)dx=∫−10f(x)dx+∫01f(x)dx=∫−10(x+1)dx+∫01(x2+1)dx=(12x2+x)∣−10+(13x3+x)∣01=12−1+13+1=56解:\int_{-1}^1f(x)dx=\int_{-1}^0f(x)dx+\int_0^1f(x)dx\\ =\int_{-1}^0(x+1)dx+\int_0^1(x^2+1)dx=(\frac{1}{2}x^2+x)|_{-1}^0+(\frac{1}{3}x^3+x)|_0^1\\ =\frac{1}{2}-1+\frac{1}{3}+1=\frac{5}{6} 解:∫−11f(x)dx=∫−10f(x)dx+∫01f(x)dx=∫−10(x+1)dx+∫01(x2+1)dx=(21x2+x)∣−10+(31x3+x)∣01=21−1+31+1=65

例3 求∫03∣2−x∣dx\int_0^3|2-x|dx∫03∣2−x∣dx
解：∫03∣2−x∣dx=∫02∣2−x∣dx+∫23∣2−x∣dx=∫02(2−x)dx+∫23(x−2)dx=(2x−12x2)∣02+(12x2−2x)∣23=4−2+92−6−(2−4)=52解：\int_0^3|2-x|dx=\int_0^2|2-x|dx+\int_2^3|2-x|dx\\ =\int_0^2(2-x)dx+\int_2^3(x-2)dx=(2x-\frac{1}{2}x^2)|_0^2+(\frac{1}{2}x^2-2x)|_2^3\\ =4-2+\frac{9}{2}-6-(2-4)=\frac{5}{2} 解：∫03∣2−x∣dx=∫02∣2−x∣dx+∫23∣2−x∣dx=∫02(2−x)dx+∫23(x−2)dx=(2x−21x2)∣02+(21x2−2x)∣23=4−2+29−6−(2−4)=25
例4
f(x)={x2,x∫[0,1),x,x∫[1,2]f(x)= \begin{cases} x^2,\quad x\int[0,1),\\ x,\quad x\int[1,2] \end{cases} f(x)={x2,x∫[0,1),x,x∫[1,2]
求Φ(x)=∫0xf(t)dt在[0,2]\Phi(x)=\int_0^xf(t)dt在[0,2]Φ(x)=∫0xf(t)dt在[0,2]上的表达式
解：当x∈[0,1)时，Φ(x)=∫0xf(t)dt=∫0xt2dt=13x3当x∈[1,2]时,Φ(x)=∫0xf(t)dt=∫01f(t)dt+∫1xf(t)dt=∫01x2dx+∫1xtdt=13+12x2−12=12x2−16Φ(x)={13x3,x∈[0,1)12x2−16,x∈[1,2]解：当x\in[0,1)时，\Phi(x)=\int_0^xf(t)dt=\int_0^xt^2dt=\frac{1}{3}x^3\\ 当x\in[1,2]时,\Phi(x)=\int_0^xf(t)dt=\int_0^1f(t)dt+\int_1^xf(t)dt\\ =\int_0^1x^2dx+\int_1^xtdt=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\\ =\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}\\ \Phi(x)= \begin{cases} \frac{1}{3}x^3,\quad x\in[0,1)\\ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6},\quad x\in[1,2]\\ \end{cases} 解：当x∈[0,1)时，Φ(x)=∫0xf(t)dt=∫0xt2dt=31x3当x∈[1,2]时,Φ(x)=∫0xf(t)dt=∫01f(t)dt+∫1xf(t)dt=∫01x2dx+∫1xtdt=31+21x2−21=21x2−61Φ(x)={31x3,x∈[0,1)21x2−61,x∈[1,2]

后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p237-244.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p33.