单纯形法（三）（概念部分）
背景
给定一个标准的线性规划问题，其系数矩阵A形式如下：
由于这个是一个标准的线性规划，所以A行满秩，所以A中一定有m列是线性无关的。
举个例子，下面的A是一个3*5的矩阵。
我们可以找出3个线性无关的列向量，例如：
取后3列：
取第2，4，5列：
当然还有其他的。
概念1
基：上述取出的3个线性无关的列向量构成的一个方阵B，我们就叫做基，即B表示Basic。注意到，这个方阵是m*m的。
基向量：B中的每一个列向量都叫做基向量。每个基向量都是m*1的。
基变量：各个基向量对应的那个变量组成的列向量。我们上面举的例子中，第一个B是从后3列取的，那么xB=(x3,x4,x5)Tx_B=(x_3,x_4,x_5)^TxB=(x3,x4,x5)T。每个基向量都是m*1的。
非基变量：除了基变量之外剩余的变量叫做非基变量，比如对应于第一个B，非基变量是xN=(x1,x2)Tx_N=(x_1,x_2)^TxN=(x1,x2)T。其中N表示Not basic。每个基向量都是(n-m)*1的。
联系：上面的四个概念是可以相互推出的，即已知其中一个，可以推出剩下的。
概念2
我们先对A选好一个基B，从而确定了其他3个概念。这个时候，我们开始进行如下具体赋值，我们让xN=0x_N=0xN=0。比如对应于第一个B，那么xN=(x1,x2)Tx_N=(x_1,x_2)^TxN=(x1,x2)T，我们赋值为0，也就是说，x1=0,x2=0,xN=(0,0)Tx_1=0,x_2=0,x_N=(0,0)^Tx1=0,x2=0,xN=(0,0)T。然后我们回代到那个约束条件Ax=bAx=bAx=b，是不是发现，此时由于xN=0x_N=0xN=0，从而约束条件等价于BxB=bBx_B=bBxB=b，又注意到B是基，所以可逆，然后我们解得xB=B−1bx_B=B^{-1}bxB=B−1b。
好了，现在有一个问题了。我们发现我们的x现在完整了，xNx_NxN落实成了0，xBx_BxB也刚刚落实，他们组成的x代入到约束方程Ax=bAx=bAx=b中是成立的，但是别忘了我们还有一个约束条件xi>=0x_i>=0xi>=0，由于xN=0x_N=0xN=0，所以现在就差一件事：这个xB>=0x_B>=0xB>=0吗？
如果xB>=0x_B>=0xB>=0，那么我们称这个由xBx_BxB和xNx_NxN组成的x是这个线性规划的基可行解。
不管xB>=0x_B>=0xB>=0是否成立，那么我们称这个由xBx_BxB和xNx_NxN组成的x是这个线性规划的基解。
联系：基解未必是基可行解，基可行解一定是基解。
注意：基解未必是可行解，如果xB>=0x_B>=0xB>=0不成立，那么这个线性规划的约束xi>=0x_i>=0xi>=0就不成立，那么当然xBx_BxB和xNx_NxN组成的x就不是可行解了。
相应地：对应于基可行解，可以推出其他3个概念：可行基，可行基向量和可行基变量。
非退化的基可行解：我们上面定义基可行解的时候，只要求xB>=0x_B>=0xB>=0，如果我们要求xB>0x_B>0xB>0，则称之为非退化的基可行解。
退化的基可行解：同理，xB>=0x_B>=0xB>=0的前提下，xBx_BxB中至少有一个为0，则称这个解为退化的基可行解。
联系：非退化的基可行解和退化的基可行解是对立的关系，但是这两个都叫做基可行解。
非退化的线性规划：其所有的基可行解都是非退化基可行解。
总结
练习题，思考：基解最多有几个？
答案：最多有CnmC_n^mCnm个。取最大的情况如下：如果从A的n列，随意选择m列都是线性无关的，构成基B，那么按照上述流程将得到一个x，其为基解。从n列中选m列，方案有组合数CnmC_n^mCnm种。
由于基可行解包含在基解之中，所以基可行解的数量小于CnmC_n^mCnm。
补充
下一次会要用到：
两个基可行解相邻是指：两个基可行解对应的基变量中，只有一个基变量是不一样的，其它的基变量都是相同的。举个栗子，假设两个基可行解对应的基变量是(x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1,x2,x3)与(x1,x2,x4)(x_1,x_2,x_4)(x1,x2,x4)，那么这两个基可行解相邻。
另外有如下定理，暂时不予以证明。
注：上面的保持可行性是指将其中一个非基变量变为正的情况下，另外一个正的基变量变为0的情况下，其他的基变量也可能会改变。但是除了那个已经变为正的非基变量，其他非基变量仍然是0。
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