计算：

1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20。

【敏捷思维】本题给出的14个数据原先并不满足等差数列的特征，所以不能直接用高斯求和公式，但是仔细观察发现，如果将每两项先组合起来求出和之后，我们发现7个和组成一个等差数列，这个数列的首项是3，公差是6，项数是7，就可以利用高斯求和法计算了。

【全解】

原式=(1+2)+(4+5)+(7+8)+(10+11)+(13+14)+(16+17)+(19+20)=3+9+15+21+27+33+39=(3+39)×7÷2=147。

【方法点睛】善于利用等差数列求和公式。

知识汇集

等差数列的计算：

通项公式：第n项=首项+(项数—1)×公差；

项数公式：项数=(末项—首项)÷公差+1；

求和公式：总和=(首项+末项)×项数÷2。

例题剖释

题1  计算：1+2+3+…+18+19+20

【敏捷思维】观察算式，发现：每相邻的两个数，后一个数减前一个数的差都相等。满足这一特点的一列数求和，可以用“高斯求和法”进行简便计算。

【全解】1+2+3+…+18+19+20=(1+20)×20÷2=210

【知识点评】高斯求和法的公式是，总和=(首项+末项)×项数÷2。使用前一定要仔细观察算式是否满足“等差数列”的特点。

题2  计算：(2+4+6+…+2012)—(1+3+5+…+2011)

【敏捷思维】这道题目可以分别求出两个括号内两个数列的和，然后相减。仔细观察，不难发现，第一个括号内的项数与第二个括号内的项数相同，而且前面括号内的第一个数与后面括号内的第一个数相减是1，前面括号内的第二个数与后面括号内的第二个数相减是1，…，依此类推。

【全解】

方法一：(2+4+6+…+2012)—(1+3+5+…+2011)=(2+2012)×1006÷2—(1+2011)×1006÷2=1006

方法二：(2+4+6+…+2012)—(1+3+5+…+2011)=2—1+4—3+6—5+…2012—2011=1+1+1+…+1=1006×1=1006

【深入推究】方法一是利用高斯求和法的公式对每一组数据先求和，再相减。其实本题根据数据的特点仔细观察后可以发现，前后一一配对，可以不用高斯求和公式去计算，也能很简便的计算出结果。

题3  计算：2+3—4+5+6—7+8+9—10+…+101+102—103

【敏捷思维】仔细观察，发现：可以把这列数分成三组，前两组之间是相加，与最后一组之间是相减。

【全解】2+3—4+5+6—7+8+9—10+…+101+102—103=(2+5+…+101)+(3+6+…+102)—(4+7+…+103)=(2+101)×34÷2+(3+102)×34÷2—(4+103)×34÷2=1751+1785—1819=1717

【深入推究】本题在观察后将数据分成三组，对每一组数据用高斯求和法求和时，要注意数据个数是如何求出的。三组数据的个数都是相同的，比如第一组数据的个数是这样求出的：(101—2)÷3+1=34，其他两组依此类推。

题4  有一个等差数列2，6，10，14，…，这个等差数列的第50项是多少？

【敏捷思维】分析该数列，首项=2，公差=4，项数=50，利用通项公式可求出第50项是多少。

【全解】第50项=2+(50—1)×4=198

【知识点评】本题是已知首项，公差和项数求该数列中的某一项，可以用通项公式求出结果。

题5  有一个等差数列9，12，15，18，…，2004，求这个数列共有多少项？

【敏捷思维】分析该数列，首项=9，公差=3，尾项=2004，利用项数公式可以求出项数是多少。

【全解】项数=(2004—9)÷3+1=666。

【知识点评】本题是已知首项，公差和尾项求该数列中的项数，可以用项数公式轻松求出结果。

题6 小胡读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。这本书共有多少页？

【敏捷思维】需要从文字应用题中的条件中找出等差数列的各要素出来，第一天读了20页，可知首项为20，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，可知公差为5，最后一天读了50页恰好读完，可知末项为50，求总和。用通项公式求和，还缺项数，所以首先由项数公式先求出项数，再用高斯求和公式求出总和。

【全解】(50—20)÷5+1=7(天)，(20+50)×7÷2=245(页)，故这本书共有245页。

【方法点睛】本题是文字应用题，先要从题目中找出等差数列的各要素，再根据已知的要素去求未知的要素。

当堂演练

1.计算：2+4+6+…+48+50

2.计算：(100+102+…+200)—(1+5+9+…+97)

3.计算：2005+2004—2003+2002+2001—2000+…+1006+1005—1004

4.有一个等差数列1，4，7，10，…，这个等差数列的第30项是多少？

5.有一个等差数列1000，993，986，979，…，20，这个等差数列共有多少项？

6.第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，依此类推，第四十行放了40颗糖，问第一至四十行一共放了多少颗糖？

进阶训练

1.计算：99+97+95+…+5+3+1

2.计算:1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1

3.计算：50+49—48—47+46+45—44—43+…—4—3+2+1

4.计算：1—3+6—10+15—21+28—…+4950

5.计算：2+22+222+2222+…+2222222222

6.计算：

998877+988776+887766+877665+776655+766554+665544+655443

7.计算：1+11+21+31+…+101+111

8.王师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？

9.小丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。小丽这些天一共学会了多少个单词？

10.求下表中所有数的和：

11.一列数1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，……共1991个数，其中共有多少个1，多少个9，多少个4？这些数的和是多少？12.有一串数，第一个是1，第二个是3，从第三个数开始，每个数都是其前面两个数的和的个位数：1,3,4,7,1,8,9，…...。在这列数中连续取2002个，使得这2002个数的和最大，那么这个最大的和是多少？方法综述1.巩固求长方形、正方形周长的计算公式：长方形的周长=(长+宽)×2，正方形的周长=边长×4；2.理解并掌握不规则几何图形，尤其是一些稍复杂的图形，会灵活运用上面求周长的公式求出图形的周长，关键就是要善于发现图中各段边长之间的关系及规律，利用平移法巧妙地求出周长；3.理解什么是转化的思想，并运用转化的思想求出比较复杂的几何图形的周长；4.防止重复或遗漏边长的计算。参考答案

【当堂演练】

1.2+4+6+…+48+50=(2+50)×25÷2=650

2.(100+102+…+200)—(1+5+9+…+97)=(100+200)×51÷2—(1+97)×51÷2=6425

3.2005+2004—2003+2002+2001—2000+……+1006+1005—1004=2005+(2004—2003)+2002+(2001—2000)+…+1006+(1005—1004)=2005+2002+…+1006+1×334=(2005+1006)×334÷2+334=503171

4.第30项=1+(30—1)×3=88

5.项数=(1000—2)÷7+1=141

6.1+2+3+…+40=(1+40)×40÷2=820(颗)，故一共放了820颗糖。

【进阶训练】

1.99+97+95+…+5+3+1=(99+1)×50÷2=2500

2.1+2+3+4+……+48+49+50+49+48+……+4+3+2+1=(1+2+3+4+……+48+49+50)+(50+49+48+……+4+3+2+1)—50=(1+50)×50—50=25003.方法一：50+49—48—47+46+45—44—43+…—4—3+2+1=(50+49—48—47)+(46+45—44—43)+…+(6+5—4—3)+2+1=4×12+2+1=51方法二：50+49—48—47+46+45—44—43+…—4—3+2+1=50+(49—48—47+46)+(45—44—43+42)+…+(5—4—3+2)+1=50+0×12+1=514.算式中1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，……，因为1—100这100个自然数的和为5050，4950比5050少100，所以4950=1+2+…+98+99，所以1—3+6—10+15—21+28—…+4950=1—(1+2)+(1+2+3)—(1+2+3+4)+…+(1+2+…+98+99)=1+[(1+2+3)—(1+2)]+…+[(1+2+…+98+99)—(1+2+…+98)]=1+3+5+7+…+99=(1+99)×50÷2=25005.2+22+222+2222+……+2222222222=2×10+20×9+200×8+2000×7+……+2000000000×1=20+180+1600+14000+120000+1000000+8000000+60000000+400000000+2000000000=24691358006. 998877+988776+887766+877665+776655+766554+665544+655443=(998877+655443)+(988776+665544)+(887766+766554)+(877665+776655)=1654320×4=66172807.1+11+21+31+…+101+111=1+1+10+1+20+1+30+…+1+100+1+110=6728.零件总数=(20+48)×15÷2=510(个)，故这批零件共有510个。9.天数=(16—6)÷1+1=11(天)，学会的单词总数=(6+16)×11÷2=121(个)，故小丽这些天一共学会了121个单词。10.方法一：表格中每一行都是等差数列，每一行的和是中间数×项数。所以表中所有数的和为9×(9+10+11+12+13)=495；方法二：表格中共有45个数，这些数的平均数是表格的中心数11，所以这些数的和为11×45=495。11.观察这列数，发现这是一个循环数列，7个数为一个循环节：1，9，9，1，4，1，4。在一个循环节里有3个1，2个9，2个4。1991÷7=284……3。所以这1991个数中数字1共有3×284+1=853(个)，数字9共有2×284+2=570(个)，数字4共有2×284=568(个)；这1991个数的和=(1+9+9+1+4+1+4)×284+1+9+9=8255。12.这串数字是：1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,…...，可见这串数字是每12个数字重复出现，这12个数字的和是1+3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2=60,2002÷12=166……10,要使这2002个数的和最大，应从这列数中第2个数起连续取2002个数，最后10个数的和是3+4+7+1+8+9+7+6+3+9=57，所以最大的和是60×166+57=10017。