图中长度为k的路径的计数

Problem Description

题目给出一个有n个节点的有向图，求该有向图中长度为k的路径条数。方便起见，节点编号为1,2,…,n，用邻接矩阵表示该有向图。该有向图的节点数不少于2并且不超过500.

例如包含两个节点的有向图，图中有两条边1 → 2 ,2 → 1 。

长度为1的路径有两条：1 → 2 和 2 →1 ；

长度为2的路径有两条：1 → 2 → 1和2 → 1 → 2 ；

偷偷告诉你也无妨，其实这个图无论k取值多少 ( k > 0 )，长度为k的路径都是2条。

Input

每组输入第一行是有向图中节点的数量即邻接矩阵的行列数n和Ｋ。接下来n行n列为该图的邻接矩阵。

Output

输出一个整数，即为图中长度为k的路径的条数。

样例输入

4 2

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

样例输出

解法：假设从Ｕ出发到Ｖ的长度为Ｋ的路径总数为Ｇｋ［Ｕ］［Ｖ］，那么ｋ＝１时和边值相同，因此Ｇ１就等于图的邻接矩阵．

假设已经得到Ｇｋ１和Ｇｋ２，那么Ｇ（ｋ１＋ｋ２）　＝　Ｇｋ１＊Ｇｋ２．

Ｇｋ　＝　（Ｇ１）＾ｋ．

所以此时候就可以用矩阵快速幂来进行求解．

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 #define ll long long int
 4 #define mod 10007
 5 using namespace std;
 6 typedef vector<ll> vec;
 7 typedef vector<vec> mat;
 8
 9 mat mul(mat &a,mat &b){
10     mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
11     for(int i=0;i<a.size();i++){
12         for(int j=0;j<b[0].size();j++){
13             for(int k=0;k<b.size();k++){
14                 c[i][j] = (c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]);
15             }
16         }
17     }
18     return c;
19 }
20
21 mat pow(mat a,int n){
22     mat c(a.size(),vec(a.size()));
23     for(int i=0;i<a.size();i++)
24         c[i][i] = 1;
25     while(n){
26         if(n&1)
27             c = mul(c,a);
28         a = mul(a,a);
29         n>>=1;
30     }
31     return c;
32 }
33
34 int main(){
35     int n,k;
36     cin>>n>>k;
37     mat a(n,vec(n));
38     for(int i=0;i<n;i++){
39         for(int j=0;j<n;j++){
40             cin>>a[i][j];
41         }
42     }
43     a = pow(a,k);
44     int ans = 0;
45     for(int i=0;i<n;i++){
46         for(int j=0;j<n;j++){
47             ans+=a[i][j];
48         }
49     }
50     cout<<ans<<endl;
51     return 0;
52 }

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