功率谱魏凤英统计程序_频谱、能量谱、功率谱、功率谱估计

关于频谱、能量谱、功率谱

对于能量信号，常用能量谱来描述。所谓的能量谱，也称为能量谱密度。

是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也即是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱是信号幅度谱的模的平方，其量纲是焦/赫。

对于功率信号，常用功率谱来描述。所谓的功率谱，也称为功率谱密度。

是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况。也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。

从理论上来说，功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换。因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间对应关系。

在工程实际中，即便是功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。

对确定性的信号，特别是非周期的确定性信号，常用能量谱来描述。而对于随机信号，由于持续期时间无限长，不满足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅立叶变换，所以通常用功率谱来描述。

周期性的信号，也同样是不满足傅里叶变换的条件，常用功率谱来描述。

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关于功率谱

功率谱可以从两方面来定义：

一个是自相关函数的傅立叶变换（维纳辛钦定理）；

另一个是时域信号傅氏变换模平方然后除以时间长度（来自能量谱密度）。根据parseval定理，信号傅氏变换模平方被定义为能量谱，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。

理解：

（1）信号通常分为两类：能量信号和功率信号；

（2）一般来讲，能量信号其傅氏变换收敛（即存在），而功率信号傅氏变换通常不收敛；

（3）信号是信息的搭载工具，而信息与随机性紧密相关，所以实际信号多为随机信号，这类信号的特点是状态随机性随时间无限延伸，其样本能量无限。换句话说，随机信号（样本）大多属于功率信号而非能量信号，它并不存在傅氏变换，亦即不存在频谱；

（4）若撇开搭载信息的有用与否，随机信号又称随机过程，很多噪声属于特殊的随机过程，它们的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。对于这样的随机过程，自相关函数蜕化为一维确定函数，前人证明该确定相关函数存在傅氏变换；

（5）频谱通常既含有幅度也含有相位信息；幅度谱的平方（二次量纲）又叫能量谱（密度），它描述了信号能量的频域分布；功率信号的功率谱（密度）描述了信号功率随频率的分布特点（密度：单位频率上的功率），业已证明，平稳信号功率谱密度恰好是其自相关函数的傅氏变换。对于非平稳信号，其自相关函数的时间平均（对时间积分，随时变性消失而再次退变成一维函数）与功率谱密度仍是傅氏变换对；

（6）实际中我们获得的往往仅仅是信号的一段支撑，此时即使信号为功率信号，截断之后其傅氏变换收敛，但此变换结果严格来讲不属于任何“谱”（进一步分析可知它是样本真实频谱的平滑：卷积谱）；

（7）对于（6）中所述变换若取其幅度平方再除以持续时间，可作为平稳信号功率谱（密度）的近似，是为经典的“周期图法”；

补充：（8）一个信号的频谱,只是这个信号从时域表示转变为频域表示,只是同一种信号的不同的表示方式而已；而功率谱是从能量的观点对信号进行的研究,其实频谱和功率谱的关系归根揭底还是信号和功率,能量等之间的关系。

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关于功率谱估计

功率谱估计一般分成两大类：经典谱估计和现代谱估计。

经典谱估计

自相关法

自相关法是根据维纳-辛钦定理，通过相关函数计算功率谱的。

周期图法

于

年提出，把

点观测数据看做能量有限的信号，直接对其进行傅里叶变换，然后取其模值的平方，并除以

，得到观测数据真实的功率谱的估计。

质量分析：
1.周期图法是功率谱的有偏估计。产生偏移的原因一方面是局部平均中主瓣的模糊作用，模糊的结果使谱估计的分辨率下降；另一方面是由于旁瓣的泄露。
2.频率分辨率低。原因是傅里叶变换域是无限长的，而观测数据是有限长的，相当于将信号在时域添加了矩形窗，在频域真正功率谱卷积一个抽样函数

。

总结：
周期图法很简单，直接使用谱估计性能很差，因此在使用时一般使用改进的周期图法。

四种常见的改进周期图法

周期图法相当于一个矩形窗对时域信号的加窗，然后时间分辨率大致与数据长度

成反比。这里提出四种常见的改进周期图法。

平均周期图法

对一个随机变量观测时，得到

组独立数据，每组数据长为

，对每一组求

，之后将

个均值加起来求平均。这样得到的均值，其方差是原来的

。

质量分析：
平均周期图法仍然是有偏估计，偏移和每组数据长度

有关。由于每段

的长度变为

，频谱分辨率更低

，因此，平均周期图法以分辨率的降低换取了估计方差的减少。

窗函数法

窗函数法是将长度为

的观测数据乘以同一长度的数据窗

，数据加窗后，谱估计值的数学期望等于真实谱值与窗谱函数的平方卷积，因而是有偏估计。

质量分析：
选择低旁瓣的数据窗可使得杂散响应减少，但旁瓣的降低必然使得主瓣加宽，从而降低分辨率。
数据加窗后，谱估计值的方差

谱估计值的平方，且不随数据长度增大而减少。

数据加窗可以降低谱估计值的旁瓣，但是降低了谱估计的分辨率。

修正的周期图平均法

又称

法，首先把长度为N的数据分成

段，每段数据长为

，则

。然后把窗函数

加到每段数据上，求出每段的周期图，之后对每段周期图进行评价。

质量分析：

法在计算周期图前，先对各数据段加窗，是平均周期图法的估计方差减少，但是分辨率降低。

加权交叠平均法

又称

法。对

法的改进。首先，分段时相邻两段可以重叠，其次，窗函数使用汉宁窗或汉明窗，通过改进，达到进一步减小方差的目的。

总结：

经典功率谱虽然实现简单，计算速度快，但是具有方差性能较差、分辨率较低、旁瓣泄露等缺点。

经典功率谱估计及其实现_我的梦-CSDN博客_功率谱估计blog.csdn.net

现代谱估计

分为参数模型估计和非参模型估计，这里主要是基于

模型的谱估计。

基于

模型的谱估计的几种方法：

1.求解

方程

在求解

方程中的

系数可用

递推算法简化计算，但它需要知道自相关序列

。自相关序列实际上只能从随机序列

的有限个观测数据估计得到。当时间序列较短时，估计误差很大，这将对AR参数

的计算引入较大的误差，导致谱估计性能下降，甚至出现谱线分裂与谱峰偏移等现象。

法

如果利用观测到的数据直接计算

模型的参数，则能克服上述方法的缺点，得到性能较好的谱估计结果。这种方法是由

提出的，称为

法，也叫做最大熵谱算法。

递推算法的优点是不需要估计自相关函数，它直接从已知序列

求得反射系数

，然后利用

递推算法由反射系数来求得

参数。