讲的什么

这部分主要讲离散的 Hopfield 网络权值的计算方法，以及网络记忆容量。主要参考了网上搜到的一些相关 PPT。

DHNN 的训练方法

常见的学习方法中有海布法，还有 \(\delta\) 学习规则方法、伪逆法、正交化的权值设计方法等，正交化的权值设计方法是 Matlab 中库函数 solvehop.m 中采用的，该方法的具体介绍和证明可参考论文：【人工神经网络的数学模型建立及成矿预测 BP 网络的实现】。我们着重介绍一下海布法。

海布调节规则

在 DHNN 的网络训练过程中，运用的是海布调节规则：当神经元输入与输出节点的状态相同（即同时兴奋或抑制）时，从第 \(j\) 个到第 \(i\) 个神经元之间的连接强度则增强，否则则减弱。海布（Hebb）法则是一种无指导的死记式学习算法。学习的目的：对具有 \(q\) 个不同的输入样本组 \(P_{n\times q}=[p^1,p^2,\cdots,p^q]\)，希望通过调节计算有限的权值矩阵 \(W\)，使得当每一组输入样本 \(p^k,k=1,2,\cdots,q\)，作为系统的初始值，经过网络循环，系统能够收敛到各自输入样本矢量本身。

以下默认神经元取值为 -1 或 1，对 0 和 1 的情况只有稍许不同。
当 \(k=1\) 时，对于第 \(i\) 个神经元，由海布学习规则可得网络权值对输入矢量的学习关系式为
\begin{align}
W_{i,j}=\alpha p_j^1p_i^1,\quad \alpha>0,\quad i=1,2,\cdots,n\quad j=1,2,\cdots,n
\end{align}
\(n\) 为神经元个数。实际学习规则的运用中，一般取 \(\alpha=1\) 或 \(1/n\).

海布规则是合理的，由于第能够保证改变权值后样本的输出仍为样本矢量本身。不妨取 \(\alpha=1\)，则有
\begin{align}
a^1_i=\mathrm{sgn}(\sum_{j=1}^n W_{i,j}p_j^1)=\mathrm{sgn}(\sum_{j=1}^n p_j^1p_i^1p_j^1)=\mathrm{sgn}(p_i^1)=p_i^1
\end{align}

根据海布规则的权值设计方法，当 \(k\) 由 1 增加到 2，直至 \(q\) 时，则是在原有已设计出的权值的基础上，增加一个新量 \(p_j^kp_i^k,k=2,\cdots,q\)，所以对网络所有输入样本记忆权值的设计公式为：
\begin{align}
W_{i,j}=\alpha\sum_{k=1}^qt_j^kt_i^k
\end{align}
式中矢量 \(T\) 为记忆样本，\(T=P\)。式 (3) 称为推广的学习调节规则。当系数 \(\alpha=1\) 时，称式 (3) 为 \(T\) 的外积公式。

因为 Hopfield 网络有 \(W_{ij}=W_{ji}\)，所以完整的网络权值设计公式应当为：
\begin{align}\label{eq37}
W_{i,j}=\alpha\sum_{\substack{k=1\ i\neq j}}^qt_j^kt_i^k
\end{align}
向量形式表示为
\begin{align}
W=\alpha \sum_{k=1}^q[T^k(T^k)^T-I]
\end{align}

当 \(\alpha=1\) 时有
\begin{align}
W= \sum_{k=1}^q[T^k(T^k)^T]-qI
\end{align}
其中 \(I\) 为单位对角矩阵。

一个例子

对 \(n=5\) 的 DHNN 网络，要求记忆的样本为：
\begin{align}
p^1&=(1,1,1,1,1)^T \notag \\
p^2&=(1,-1,-1,1,-1)^T\notag \\
p^3&=(-1,1,-1,-1,-1)^T \notag
\end{align}
它们不满足正交条件，按外积计算权重矩阵：
\begin{align}
W &=\sum_{k=1}^3p^k(p^k)^T-3I \notag \\
&= \begin{bmatrix}
1 & 1& -1 \\
1& -1&1 \\
1 & -1 & -1\\
1 & 1&-1 \\
1&-1&-1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1& 1& 1&1 \\
1 & -1& -1& 1&-1 \\
-1 & 1& -1& -1&-1 \\
\end{bmatrix}-3I \notag \\
&=\begin{bmatrix}
3 & -1 & 1& 3&1 \\
-1 &3 & 1&-1 &1 \\
1& 1&3 &1 &3 \\
3 & -1&1&3 &1 \\
1 & 1&3 &1 &3
\end{bmatrix} -3I
=\begin{bmatrix}
0 & -1 & 1& 3&1 \\
-1 &0 & 1&-1 &1 \\
1& 1&0 &1 &3 \\
3 & -1&1&0 &1 \\
1 & 1&3 &1 &0
\end{bmatrix} \notag
\end{align}
计算可得：\(\mathrm{sgn}(Wp^1)=p^1,\mathrm{sgn}(Wp^2)=p^2,\mathrm{sgn}(Wp^3)=p^3\). 网络可能的输出状态：\(2^5=32\) 个矢量。分析一下其稳定点的情况：

• 共有 4 个稳定点： \(p^1, p^2, p^3\), 除此之外，还有一个 \(p^4=(-1,1,1,-1,1)^T\).
  其中 \(p^1, p^2, p^3\) 为要求的稳定点， \(p^4\) 为伪稳定点。仔细发现 \(p^4=-p^2\). 其实，稳定点具有对称性。

把 32 种可能的输出矢量作为初值来检验

• 串行工作下：10 个初始态收敛于 \(p^1\) ， 8 个收敛于 \(p^2\) ，8 个收敛于 \(p^3\) ，6 个收敛于 \(p^4\)
• 并行工作下：8 个初始态收敛于 \(p^1\) ， 1 个收敛于 \(p^2\) ，2个收敛于 \(p^3\) ，1 个收敛于 \(p^4\). 而其他 20 个都使网络陷入极限环（即在多种状态下来回跳动，不收敛）。

影响记忆容量的因素

设计 DHNN 网络的目的，是希望通过所设计的权值矩阵 \(W\) 储存多个期望模式。从海布学习公式的推导过程中可以看出：当网络只记忆一个稳定模式时，该模式肯定被网络准确无误地记忆住，即所设计的 \(W\) 值一定能够满足正比于输入和输出矢量的乘积关系。但当需要记忆的模式增多时，情况则发生了变化，主要表现在下面两点上：

• 权值移动。发生遗忘、疲劳。
  当只需记住一个样本，即 \(k=1\) 时，根据海布规则确定了权值，网络准确的记住了样本 \(T^1\)，当 \(k=2\) 时，为了记忆样本 \(T^2\)，需要在记忆了样本 \(T^1\) 的权值上加上对样本 \(T^2\) 的记忆项 \(T^2(T^2)^T-I\)，将权值在原来值的基础上产生了移动。
  另一方面，由于在学习样本 \(T^2\) 时，权矩阵 \(W\) 是在已学习了 \(T^1\) 的基础上进行修正的。此时，因 \(W\) 起始值不再为零，所以由此调整得出的新的 \(W\) 值，对记忆样本 \(T^2\) 来说，也未必对所有的 \(s\) 个输出同时满足符号函数的条件，即难以保证网络对 \(T^2\) 的精确的记忆。
  随着学习样本数 \(k\) 的增加，权值移动现象将进一步发生，当学习了第 \(q\) 个样本 \(T^q\) 后，权值又在前 \(q-1\) 个样本修正的基础上产生了移动，这也是网络在精确学习了第一个样本后的第 \(q-1\) 次移动。
  对已记忆的样本发生遗忘，这种现象成为“疲劳”。
• 交叉干扰。设输入矢量 \(P\) 维数为 \(n\times q\)，取 \(\alpha=1/n\). 因为对于 DHNN 有 \(p^k \in \{-1,1\},k=1,2,\cdots,n\)，所以有 \(p_i^k\cdot p_i^k=p_j^k\cdot p_j^k=1\). 当网络某个矢量 \(p^\ell,\ell \in [1,q]\), 作为网络的输入矢量时，可得网络的加权输入和 \(n_i^{\ell}\) 为
  \begin{align}
  n_i^{\ell}&=\sum_{\substack{k=1\\ k\neq \ell}}^n W_{i,j}p_j^{\ell} \notag \\
  &=\frac 1n \sum_{j=1,j\neq i}^n \sum_{k=1}^qp_i^kp_j^k \cdot p_j^{\ell} \notag \\
  &=\frac 1n \sum_{\substack{k=1\\ k\neq \ell}}^n \bigg[p_i^{\ell}\cdot p_j^{\ell}\cdot \cdot p_j^{\ell}+\sum_{\substack{k=1\\ k\neq \ell}}^q p_i^kp_j^k \cdot p_j^{\ell} \bigg] \notag \\
  &= p_i^{\ell}+\frac 1n \sum_{\substack{j=1 \\ j\neq i}}^n \sum_{\substack{k=1\ k\neq \ell}}^q p_i^kp_j^k \cdot p_j^{\ell}
  \end{align}
  上式右边中第一项为期望记忆的样本，而第二项则是当网络学习多个样本时，在回忆阶段即验证该记忆样本时，所产生的相互干扰，称为交叉干扰项。

网络的记忆容量确定

一般来说，只要满足 \(n>q\)，则有 \(\mathrm{sgn}(N^{\ell})=p^{\ell}\)，保证 \(p^{\ell}\) 为网络的稳定解。
DHNN用于联想记忆有两个突出的特点：即记忆是分布式的，而联想是动态的。它有局限性，主要表现在以下几点：

• 记忆容量的有限性
• 伪稳定点的联想与记忆
• 当记忆样本较接近时，网络不能始终回忆出正确的记忆等

另外网络的平衡稳定点并不可以任意设置的，也没有一个通用的方式来事先知道平衡稳定点。 所以真正想利用 Hopfield 网络并不是一件容易的事情。 对于用Hebb规则设计的权，能在异步工作时，稳定收敛。记忆样本正交时，可保证能记住自己。有吸引域。但对不正交的记忆样本，它不一定收敛到自身。